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2009年中考数学试题分类汇编之26-相似试题及答案


学而思教育 2009 年中考试题专题之 26-相似试题及答案

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一、选择题 1.(2009 年滨州)如图所示,给出下列条件: ① ?B ? ?ACD ;② ?ADC ? ?ACB ;③

AC AB 2 ;④ AC ? AD?AB . ? CD BC


其中单独能够判定 △ABC ∽△ACD 的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4

【关键词】三角形相似的判定. 【答案】C 2.(2009 年上海市)如图,已知 AB ∥CD ∥ EF ,那么下列结论正确的是( A.



AD BC ? DF CE

B.

BC DF ? CE AD

C.

CD BC ? EF BE

D.

CD AD ? EF AF

【关键词】平行线分线段成比例 【答案】A 3.(2009 成都)已知△ABC∽△DEF,且 AB:DE=1:2,则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 (A)1:2 (B)1:4 (C)2:1 (D)4:1 【关键词】 【答案】B 4. (2009 年安顺)如图,已知等边三角形 ABC 的边长为 2,DE 是它的中位线,则下面四个 结论: (1)DE=1,(2)△CDE∽△CAB,(3)△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为 1:4.其中 正确的有: A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

【关键词】等边三角形,三角形中位线,相似三角形

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【答案】D 5.(2009 重庆綦江)若△ABC∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为1∶2,则△ABC 与△ DEF 的周长比为( ) A.1∶4 B.1∶2 C.2∶1 D.1∶ 2

【关键词】 【答案】B 6.(2009 年杭州市)如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8,另一个与它相似的直角 三角形边长分别是 3 和 4 及 x,那么 x 的值( ) A.只有 1 个 B.可以有 2 个 C.有 2 个以上但有限 D.有无数个 【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】B 7.2009 年宁波市)如图,菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,M、N 分别是边 AB、 AD 的中点,连接 OM、ON、MN,则下列叙述正确的是( ) A.△AOM 和△AON 都是等边三角形 B.四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形 C.四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形 D.四边形 MBCO 和四边形 NDCO 都是等腰梯形 A M B O C 【关键词】位似 【答案】C 8.(2009 年江苏省)如图,在 5 ? 5 方格纸中,将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么,下面的平 移方法中,正确的是( ) A.先向下平移 3 格,再向右平移 1 格 B.先向下平移 2 格,再向右平移 1 格 C.先向下平移 2 格,再向右平移 2 格 D.先向下平移 3 格,再向右平移 2 格 N D

【关键词】平移

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【答案】D 9.(2009 年义乌)在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金 比。已知这本书的长为 20cm,则它的宽约为 A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 【关键词】黄金比 【答案】A 10. (2009 年娄底)小明在一次军事夏令营活动中,进行打靶训练,在用枪瞄准目标点 B 时,要使眼睛 O、准星 A、目标 B 在同一条直线上,如图 4 所示,在射击时,小明有轻微 的抖动,致使准星 A 偏离到 A′,若 OA=0.2 米,OB=40 米,AA′=0.0015 米,则小明射 击到的点 B′偏离目标点 B 的长度 BB′为? ( ) ? A.3 米? B.0.3 米? C.0.03 米? D.0.2 米? 【关键词】相似三角形 【答案】B

11. (2009 恩施市) 如图, △ABC 中, C ? 90° ?B ? 60° D 是 AC 上一点, 在 ? , , DE ? AB 于 E ,且 CD ? 2,DE ? 1 ,则 BC 的长为( ) A.2 B.

4 3 3

C. 2 3

D. 4 3

【关键词】解直角三角形、相似 【答案】B

12.(2009 年甘肃白银)如图 3,小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度, 移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距 8m、 与旗杆相距 22m,则旗杆的高为( ) A.12m B.10m C.8m D.7m

【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】A 13. 2009 年孝感) ( 如图, 将放置于平面直角坐标系中的三角板 AOB 绕 O 点顺时针旋转 90° 得△A′OB′.已知∠AOB=30°,∠B=90°,AB=1,则 B′点的坐标为

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A. (

3 3 3 3 ? ) B. ( ? ) 2 2 2 2

1 3 C. ( ? ) 2 2

D. (

3 1 , ) 2 2

【关键词】旋转 【答案】A 14.(2009 年孝感)美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618 时,越给人 一种美感.如图,某女士身高 165cm,下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60,为尽可能达到好 的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为 A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm

【关键词】黄金比 【答案】C 15.(2009 年新疆) 如图, 小正方形的边长均为 1, 则下列图中的三角形 (阴影部分) △ABC 与 相似的是( )

A. 【关键词】相似三角形的判定 【答案】A 16.(2009 年天津市)在 △ABC 和 △DEF 中, AB ? 2DE,AC ? 2DF,?A ? ?D ,如 果 △ABC 的周长是 16,面积是 12,那么 △DEF 的周长、面积依次为( ) A.8,3 B.8,6 C.4,3 D.4,6 【关键词】相似三角形的性质 【答案】A 17.(2009 年牡丹江市)如图, △ABC 中, CD ? AB 于 D, 一定能确定 △ABC 为直角三角 形的条件的个数是( ) ① ?1 ? ?A ② ,

CD DB ③ ? , ?B ? ?2 ? 90° ④ BC∶AC∶AB ? 3 4 5, , ∶∶ AD CD
D.4

⑤ AC ? BD ? AC ? CD A.1 B.2 C.3

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【关键词】三角形相似的判定和性质 【答案】C 18. (2009 白银市)如图,小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动 竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距 8m、与 旗杆相距 22m,则旗杆的高为( ) A.12m B.10m C.8m D.7m

【关键词】相似三角形的判定和性质 【答案】A 19. (2009 年衢州)在△ABC 中,AB=12,AC=10,BC=9,AD 是 BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠,使点 A 与点 D 重合,折痕为 EF,则△DEF 的周长为 A.9.5 B.10.5 C.11 D.15.5

【关键词】线段的比和比例线段 【答案】D 20. 2009 年衢州) ( 如图, △ABC 中, B 两个顶点在 x 轴的上方, C 的坐标是(-1, 以 A, 点 0). 点 C 为位似中心,在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形,并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍,记所得的像是△A′B′C.设点 B 的对应点 B′的横坐标是 a,则点 B 的横坐标是 1 1 A. ? a B. ? (a ? 1) 2 2
1 C. ? (a ? 1) 2 1 D. ? (a ? 3) 2

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【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】D 21.(2009 年舟山)在△ABC 中,AB=12,AC=10,BC=9,AD 是 BC 边上的高.将△ABC 按 如图所示的方式折叠,使点 A 与点 D 重合,折痕为 EF,则△DEF 的周长为 A.9.5 B.10.5 C.11 D.15.5

【关键词】线段的比和比例线段 【答案】D 22. 2009 年舟山) ( 如图, △ABC 中, B 两个顶点在 x 轴的上方, C 的坐标是(-1, 以 A, 点 0). 点 C 为位似中心,在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形,并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍,记所得的像是△A′B′C.设点 B 的对应点 B′的横坐标是 a,则点 B 的横坐标是 1 1 A. ? a B. ? (a ? 1) 2 2
1 C. ? (a ? 1) 2 1 D. ? (a ? 3) 2

【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】D 23.(2009 年济宁市)如图,在长为 8 cm、宽为 4 cm 的矩形中,截去一个矩形,使得留下 的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则留下矩形的面积是( ) 2 2 2 2 A. 2 cm B. 4 cm C. 8 cm D. 16 cm

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【关键词】相似多边形 【答案】C 24. (2009 年福州)如图,正五边形 FGHMN 是由正五边形 ABCDE 经过位似变换得到的,若 AB:FG=2:3,则下列结论正确的是( ) A.2DE=3MN, B.3DE=2MN, C. 3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F

【关键词】位似变换 【答案】B 25.(2009 年宜宾)若一个图形的面积为 2,那么将它与成中心对称的图形放大为原来的两 倍后的图形面积为( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【关键词】相似图形的性质 【答案】A. 26. .(2009 年广西梧州)如图,正方形ABCD 中,E 为 AB 的中点,AF⊥DE 于点 O, 则 等于( )

AO DO

2 5 3 2 C. 3
A.

1 3 1 D. 2
B.

【关键词】相似三角形 【答案】D 27.(2009 年甘肃定西)如图,小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动 竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距 8m、与 旗杆相距 22m,则旗杆的高为( ) A.12m B.10m C.8m D.7m

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【关键词】相似三角形 【答案】A 28. (2009 年湖州)如图,在正三角形 ABC 中, D , E , F 分别是 BC , AC , AB 上的点, 则 ( ) DE ⊥ AC ,EF ⊥ AB ,FD ⊥ BC , △D F 的面积与 △ABC 的面积之比等于 E A.1∶3 B.2∶3 C. 3 ∶2 D. 3 ∶3

【关键词】等边三角形的性质,相似的性质 【答案】A 29.(2009 年温州)一张等腰三角形纸片,底边长 l5cm,底边上的高长 22.5cm.现沿底边依 次从下往上裁剪宽度均为 3cm 的矩形纸条,如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形, 则这张正方形纸条是( ) A.第 4 张 B.第 5 张 C.第 6 张 D.第 7 张

【关键词】等腰三角形性质,三角形相似的性质,梯形中位线 【答案】C 30.(2009 年兰州)如图,丁轩同学在晚上由路灯 AC 走向路灯 BD ,当他走到点 P 时,发 现身后他影子的顶部刚好接触到路灯 AC 的底部,当他向前再步行 20m 到达 Q 点时,发现 身前他影子的顶部刚好接触到路灯 BD 的底部,已知丁轩同学的身高是 1.5m,两个路灯的高 度都是 9m,则两路灯之间的距离是

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A.24m B.25m C.28m D.30m 【关键词】相似三角形、灯光与影子 【答案】D 31.(2009 年济宁市)如图,在长为 8 cm、宽为 4 cm 的矩形中,截去一个矩形,使得留下 的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则留下矩形的面积是( ) 2 2 2 2 A. 2 cm B. 4 cm C. 8 cm D. 16 cm

【关键词】相似多边形 【答案】C 32. (09 湖南怀化)如图 1, D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点,则 S△ ADE : S△ ABC ? ( A. 1∶2 C.1∶4 B.1∶3 D. 2∶3 )

【关键词】相似三角形有关的计算 【答案】C 33. (2009 年山西省)如图, AB 是 ⊙O 的直径, AD 是 ⊙O 的切线,点 C 在 ⊙O 上, ) BC ∥ OD , AB ? 2,OD ? 3,则 BC 的长为( A.

2 3

B.

3 2

C.

3 2

D.

2 2

【关键词】圆周角和圆心角;切线定理;相似三角形有关的计算;相似三角形与圆 【答案】A

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34.(2009 年山西省)如图,在 Rt△ABC 中, ?ACB ? 90° BC ? 3, ? 4, 的垂 , AC AB 直平分线 DE 交 BC 的延长线于点 E ,则 CE 的长为( ) A.

3 2

B.

7 6

C.

25 6

D.2

【关键词】相似三角形判定和性质;勾股定理;线段和角的概念、性质 【答案】B 35. ( 2009 年 枣 庄 市 ) 如图,△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的, 点 O 是位似中心,D,E,F 分别是 OA,OB,OC 的中点,则△DEF 与△ABC 的面积比是( ) A. 1: 2 B. 1: 4 C. 1: 5 D. 1: 6

【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】B 36. (2009 呼和浩特)如图,AB 是 ⊙O 的直径,点 C 在圆上, CD ⊥ AB,DE ∥ BC , 则图中与 △ABC 相似的三角形的个数有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 E A O D C B

【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】 37.(2009 年抚顺市)如图所示,已知点 E、F 分别是 △ABC 中 AC、AB 边的中点, ) BE、CF 相交于点 G , FG ? 2 ,则 CF 的长为(

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A

F

E

B

C A.4 G B.4.5 C.5 D.6

【关键词】中位线 二、填空题 1.(2009 年重庆市江津区)锐角△ABC 中,BC=6, S ?ABC ? 12, 两动点 M、N 分别在边 AB、 AC 上滑动,且 MN∥BC,以 MN 为边向下作正方形 MPQN,设其边长为 x,正方形 MPQN 与△ABC 公共部分的面积为 y(y >0),当 x = ,公共部分面积 y 最大,y 最大值 = ,

【关键词】三角形、正方形、二次函数极值 相似 【答案】 x ? 3, y ? 6 2.(2009 年滨州)在平面直角坐标系中, △ABC 顶点 A 的坐标为 (2, ,若以原点 O 为位似 3) 中心,画 △ABC 的位似图形 △A?B?C? ,使 △ABC 与 △A?B?C? 的相似比等于

1 ,则点 A? 2

的坐标为 . 【关键词】三角形位似.. 【答案】(4,6) 3.(2009 威海)如图,△ABC 与△A′B′C ′是位似图形, O 是位似中心, OA=2A A′,S 点 若 △ABC=8,则 S△A′B′C ′=________.

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【关键词】位似图形 【答案】18 4.(2009 年吉林省)如图, △OAB 的顶点 B 的坐标为(4,0),把 △OAB 沿 x 轴向右平 移得到 △CDE, CB ? 1, 那么 OE 的长为 如果 【关键词】平移,平面直角坐标系内的平移 【答案】7 .

5.(2009 山西省太原市)如图是一种贝壳的俯视图,点 C 分线段 AB 近似于黄金分割.已知 AB =10 cm ,则 AC 的长约为 cm .(结果精确到 0.1 cm )

解析:本题考查黄金分割的有关知识,由题意知 AC 2 ? BC ? AB , ∴ AC 2 ? ?10 ? AC ? ? 10 ,解得 x ≈6.2,故填 6.2.. 【关键词】黄金分割 【答案】6.2. 6.(2009 烟台市)如图,△ABC 与 △AEF 中, AB ? AE,BC ? EF,?B ? ?E,AB 交 EF 于 D .给出下列结论: ① ?AFC ? ?C ; ② DF ? CF ; ③ △ADE ∽△FDB ; ④ ?BFD ? ?CAF . 其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号).

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【关键词】全等、相似 【答案】①,③,④ 7. 2009 年甘肃庆阳) ( 如图 11, 正方形 OEFG 和正方形 ABCD 是位似形, F 的坐标为 点 (1, 1),点 C 的坐标为(4,2),则这两个正方形位似中心的坐标是 .

【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】( ?2 ,0) 8.(2009 年广西南宁)三角尺在灯泡 O 的照射下在墙上形成影子(如图 6 所示).现测得 OA ? 20cm,OA? ? 50cm , 这 个 三 角 尺 的 周 长 与 它 在 墙 上 形 成 的 影 子 的 周 长 的 比 是 .

【关键词】投影;相似三角形 【答案】

2 5

9.(2009 年孝感)如图,点 M 是△ABC 内一点,过点 M 分别作直线平行于△ABC 的各边, 所形成的三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分)的面积分别是 4,9 和 49.则△ABC 的面积是 ▲ .

【关键词】相似三角形 【答案】144; 10.(2009 年牡丹江市)如图,Rt△ABC 中,?ACB ? 90° 直线 EF ∥ BD, AB 于点 E, 交 交 ,

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1 CF 交 若 则 ? AC 于点 G, AD 于点 F, S△ AEG ? S四边形EBCG, 3 AD



【关键词】相似三角形的性质 【答案】

1 2

11. (2009 年日照市)将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点 B 落在边 AC 上,记为点 B′,折痕为 EF.已知 AB=AC=3,BC=4,若以点 B′,F,C 为顶点的三角形 与△ABC 相似,那么 BF 的长度是 .

【关键词】相似三角形的性质 【答案】

12 或 2; 7

12. 2009 年重庆) ( 已知 △ABC 与 △DEF 相似且面积比为 4∶25, △ABC 与 △DEF 的 则 相似比为 . 【关键词】相似三角形的性质 【答案】2:5. 13.(2009 年莆田)如图, A、B 两处被池塘隔开,为了测量 A、B 两处的距离,在 AB 外 选一适当的点 C ,连接 AC、BC ,并分别取线段 AC、BC 的中点 E、F ,测得 EF =20m, 则 AB =__________m.

【关键词】相似三角形 答案:40 14. (2009 年牡丹江)如图, Rt△ABC 中, ?ACB ? 90° 直线 EF ∥ BD, AB 于点 E, 交 , 交 AC 于点 G, AD 于点 F, S△ AEG ? 交 若

1 CF 则 S四边形EBCG, ? 3 AD



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【关键词】相似三角形的面积比 【答案】

1 2

15. ( 2009 年 凉 山 州 ) 已 知 △ABC ∽△A?B?C? 且 S△ ABC : S△ A?B?C ? ? 1: 2 , 则 . 【关键词】相似三角形的性质 【答案】 1: 2 16. (2009 年宁德市)如图,△ABC 与△DEF 是位似图形,位似比为 2∶3,已知 AB=4,则 DE 的长为 ____. = A B ?A ? B :

【关键词】位似 【答案】6 17.(2009 年湖北荆州)如图,已知零件的外径为 25 mm ,现用一个交叉卡钳(两条尺长 AC 和 BD 相等,OC=OD)量零件的内孔直径 AB.若 OC∶OA=1∶2,量得 CD=10 mm , 则零件的厚度 x ? _____ mm .

【关键词】相似三角形 【答案】 18. ( 2009 年 新 疆 乌 鲁 木 齐 市 ) 如 图 , 在 △ABC 中 , D E , ∥ BC 若 . A D? 1 , DE2 ? , B ? ,则 BC ? D 3 【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】8 19. (2009 年山西省)如图, △ABC 与 △A?B?C? 是位似图形,且顶点都在格点上,则位 似中心的坐标是 .

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【关键词】相似,中心投影 【答案】(9,0) 20. ( 2009 年 黄 石 市 ) 在 □ ABCD 中 , E 在 DC 上 , 若 D E: E C 1 : 2 则 , ? . B F: B E ? 【关键词】平行四边形的性质;相似三角形判定和性质

【答案】 3 : 5 21.(2009 东营)将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点 B 落在边 AC 上,记 为点 B′,折痕为 EF.已知 AB=AC=3,BC=4,若以点 B′,F,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,那么 BF 的长度是 . 【关键词】相似三角形 12 【答案】 或 2; 7 三、解答题 1.(2009 年台湾) 某校一年级有 64 人,分成甲、乙、丙三队,其人数比为 4:5:7。若 由外校转入 1 人加入 乙队,则后来乙与丙的人数比为何? (A) 3:4 (B) 4:5 (C) 5:6 (D) 6: 7 。 【关键词】比例 【答案】A 2. ( 2009 年 长 春 ) 如 图 , 在 矩 形 ABCD 中 , 点 E、F 分 别 在 边 A D D C , 上 、 △A B E ∽△ D E , AB ? 6,AE ? 9,DE ? 2 ,求 EF 的长. F

【关键词】矩形的性质、直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明 【答案】

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解:∵四边形 ABCD 是矩形,AB=6 ∴∠A=∠D=90°,DC=AB=6 又∵AE=9 ∴在 Rt△ABE 中,由勾股定理得:BE= ∵ △ABE ∽△DEF , ∴

AE 2 ? AB 2 ? 9 2 ? 6 2 ? 117

6 117 AB BE ,即 ? ? 2 EF DE EF 117 3

∴EF=

3.(2009 年长春)如图,在 ABCD 中, ?BAD ? 32° ,分别以 BC、CD 为边向外作 . 延长 AB 交边 EC 于点 △BCE 和 △DCF ,使 B ?B , D E C D ? F C ,C E B ? CF ?? D H ,点 H 在 E、C 两点之间,连结 AE、AF . (1)求证: △ABE ≌△FDA . (2)当 AE ⊥ AF 时,求 ?EBH 的度数.

?

【关键词】平行四边形的性质、相似三角形有关的计算和证明 【答案】 (1)证明:在平行四边形 ABCD 中,AB=DC. 又∵DF=DC, ∴AB=DF. 同理 EB=AD. 在平行四边形 ABCD 中,∠ABC=∠ADC. 又∵∠EBC=∠CDF, ∴∠ABE=∠ADF, ∴△ABE≌△FDA.(4 分) (2)解:∵△ABE≌△FDA, ∴∠AEB=∠DAF. ∵∠EBH=∠AEB+∠EAB, ∴∠EBH=∠DAF+∠EAB. ∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°. ∵∠BAD=32°, ∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°,

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∴∠EBH=58°. 4.(2009 年安徽)如图,M 为线段 AB 的中点,AE 与 BD 交于点 C,∠DME=∠A=∠B=α, 且 DM 交 AC 于 F,ME 交 BC 于 G. (1)写出图中三对相似三角形,并证明其中的一对; (2)连结 FG,如果 α=45°,AB= 4 2 ,AF=3,求 FG 的长.

【关键词】直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明 【答案】 (1)证:△AMF∽△BGM,△DMG∽△DBM,△EMF∽△EAM(写出两对即可) 以下证明△AMF∽△BGM. ∵∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG,∠A=∠B ∴△AMF∽△BGM. (2)解:当 α=45°时,可得 AC⊥BC 且 AC=BC ∵M 为 AB 的中点,∴AM=BM= 2 2 分

AF BM ? AM BG AM ?BM 2 2 ? 2 2 8 ∴ BG ? ? ? AF 3 3
又∵AMF∽△BGM,∴ 又 AC ? BC ? 4 2 cos 45? ? 4 ,∴ CG ? 4 ?

8 4 ? , CF ? 4 ? 3 ? 1 3 3

4 5 ∴ FG ? CF 2 ? CG 2 ? 12 ? ( )2 ? 3 3
5.(2009 年郴州市)如图,在 D ABC 中,已知 DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3, (1)求

AD 的值,(2)求 BC 的长 AB

【关键词】相似

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【答案】解:(1)因为 AD = 4,DB = 8 所以 AB = AD + DB = 4 + 8 = 12

AD 4 1 = = AB 12 3 (2)因为 DE ∥ BC ,所以 △ADE ∽△ABC DE AD 所以 = BC AB 因为 DE = 3 3 1 所以 = BC 3 所以 BC = 9
所以 6.(2009 年 常 德 市 )如图,△ABC 内接于⊙O,AD 是△ABC 的边 BC 上的高,AE 是⊙O 的直径,连接 BE,△ABE 与△ADC 相似吗?请证明你的结论.

【关键词】相似 【答案】 △ABE 与△ADC 相似.理由如下: 在△ABE 与△ADC 中 ∵AE 是⊙O 的直径, ∴∠ABE=90o, ∵AD 是△ABC 的边 BC 上的高, ∴∠ADC=90o, ∴∠ABE=∠ADC. 又∵同弧所对的圆周角相等, ∴∠BEA=∠DCA. ∴△ABE ~△ADC. 7.(2009 武汉)如图 1,在 Rt △ABC 中, ?BAC ? 90° , AD ⊥ BC 于点 D ,点 O 是 AC 边上一点,连接 BO 交 AD 于 F , OE ⊥OB 交 BC 边于点 E . (1)求证: △ABF ∽△COE ;

AC OF 的值; ? 2 时,如图 2,求 AB OE AC OF (3)当 O 为 AC 边中点, 的值. ? n 时,请直接写出 AB OE
(2)当 O 为 AC 边中点, B D F A O 图1 E C A O 图2 B F D E C

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【关键词】相似三角形的判定和性质 【答案】解:(1)? AD ⊥ BC ,??DAC ? ?C ? 90°. ??BAC ? 90° ??BAF ? ?C . , ?OE ⊥OB, BOA ? ?COE ? 90° , ?? ??BOA ? ?ABF ? 90° ,??ABF ? ?COE . ? ABF ∽△COE ; △ G

B F A

D E O C

(2)解法一:作 OG ⊥ AC ,交 AD 的延长线于 G . ? AC ? 2 AB , O 是 AC 边的中点,? AB ? OC ? OA . 由(1)有 △ABF ∽△COE ,? ABF ≌△COE , △ ? BF ? OE . ??BAD ? ?DAC ? 90° , ?DAB ? ?ABD ? 90° ??DAC ? ?ABD , , 又 ?BAC ? ?AOG ? 90° , AB ? OA . ? ABC ≌△OAG ,?OG ? AC ? 2 AB . △ ?OG ⊥OA ,? AB ∥OG ,? ABF ∽△GOF , △

?
B

OF OG OF OF OG , ? ? ? ?2. BF AB OE BF AB
D F E O C

A

解法二:??BAC ? 90° AC ? 2 AB,AD ⊥ BC 于 D , ,

?Rt△BAD ∽ Rt△BCA .?

AD AC ? ? 2. BD AB
2,

设 AB ? 1,则 AC ? 2,BC ? 5,BO ?

2 1 1 5,BD ? AD ? 5. 5 2 5 ??BDF ? ?BOE ? 90° ? BDF ∽△BOE , ,△ BD BO . ? ? DF OE ? AD ?

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1 5 2 由(1)知 BF ? OE ,设 OE ? BF ? x ,? 5 ,? x ? 10 DF . ? DF x
在 △DFB 中 x 2 ?

2 1 1 2 . ? x ,? x ? 3 5 10

4 2 2 4 OF 3 ? OF ? OB ? BF ? 2 ? 2? 2 .? ? ? 2. 3 3 OE 2 2 3 OF (3) ?n. OE
8.(2009 年上海市)已知∠ABC=90°,AB=2,BC=3,AD∥BC,P 为线段 BD 上的动点,点 Q 在 射线 AB 上,且满足

PQ AD (如图 1 所示). ? PC AB

(1)当 AD=2,且点 Q 与点 B 重合时(如图 2 所示),求线段 PC 的长; (2) 在图中, 联结 AP . AD ? 当

3 , 且点 Q 在线段 AB 上时, 设点 B、Q 之间的距离为 x , 2

S△ APQ S△ PBC

? y ,其中 S△ APQ 表示△APQ 的面积, S△ PBC 表示 △PBC 的面积,求 y 关于 x 的函

数解析式,并写出函数定义域; (3)当 AD ? AB ,且点 Q 在线段 AB 的延长线上时(如图 3 所示),求 ?QPC 的大小. A P D A P P Q B 图1 C B(Q) 图2 ) C D A D

B Q 图3

C

【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定 【答案】(1)∵Rt△ABD 中,AB=2,AD=2, ∴

PQ AD =1,∠D=45° ? PC AB 1 3 BC ? 。 2 2

∴PQ=PC 即 PB=PC, 过点 P 作 PE⊥BC,则 BE= 而∠PBC=∠D=45°

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∴PC=PB=

3 2 2

(2)在图 8 中,过点 P 作 PE⊥BC,PF⊥AB 于点 F。 ∵∠A=∠PEB=90°,∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPB ∴

EB AD 3 3 ? ? ?2 ? EP AB 2 4 1 1 ? BC ? PE ? ? 3 ? 4k ? 6k , 2 2 ?2 ? x ? ? 3k AQ 2? x 1 2? x 1 2? x ? ? S ?APB ? ? ? AB ? PF ? ? ? 2 ? 3k ? ? 3k = 2 AB 2 2 2 2 2
S ?BPC 12 k 4 ? ? S ? APQ ?2 ? x ? ? 3k 2 ? x

设 EB=3k,则 EP=4k,PF=EB=3k ∴ S ?BPC ?

S ?APQ
∴y?

函数定义域为 0 ? x ? 2 A F D P A P F Q B E 图1 C B(Q) 图2 ) C B Q P D A D

E 图3

C

(3)答:90° 证明:在图 8 中,过点 P 作 PE⊥BC,PF⊥AB 于点 F。 ∵∠A=∠PEB=90°,∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPB

EB ? EP PQ ∴ ? PC


AD AB AD EB PF = ? AB PE PE

∴Rt△PQF∽Rt△PCE ∴∠FPQ=∠EPC ∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90° 8. (2009 年陕西省)20.小明想利用太阳光测量楼高,他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面 墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下: 如示意图,小明边移动边观察,发现站到点 E 处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落 在墙上的影子重叠,且高度恰好相同.此时,测得小明落在墙上的影子高度 CD=1.2m,CE =0.8m,CA=30m(点 A、E、C 在同一直线上). 已知小明的身高 EF 是 1.7m,请你帮小明求出楼高 AB(结果精确到 0.1m).

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【关键词】利用相似知识测物高 【答案】解:过点 D 作 DG⊥AB,分别交 AB、EF 于点 G、H,则 EH=AG=CD=1.2, DH=CE=0.8,DG=CA=30. ∵EF∥AB, FH DH ∴ . ? BG DG 由题意,知 FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5. 0.5 0.8 ∴ ,解之,得 BG=18.75. ? BG 30 ∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0. ∴楼高 AB 约为 20.0 米.

9. (2009 年安顺)如图,已知抛物线与 x 交于 A(-1,0)、E(3,0)两点,与 y 轴交于点 B(0, 3)。 (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线顶点为 D,求四边形 AEDB 的面积; (3) △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。

【关键词】待定系数法,相似三角形判定和性质 【答案】(1)∵抛物线与 y 轴交于点(0,3), ∴设抛物线解析式为 y ? ax ? bx ? 3(a ? 0)
2

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根据题意,得 ?
2

?a ? b ? 3 ? 0 ? a ? ?1 ,解得 ? ?9a ? 3b ? 3 ? 0 ?b ? 2
(5′)

∴抛物线的解析式为 y ? ? x ? 2 x ? 3

(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4) 设对称轴与 x 轴的交点为 F ∴四边形 ABDE 的面积= S?ABO ? S梯形BOFD ? S?DFE

1 1 1 AO ? BO ? ( BO ? DF ) ? OF ? EF ? DF 2 2 2 1 1 1 = ?1? 3 ? (3 ? 4) ?1 ? ? 2 ? 4 =9 2 2 2
= (3)似 如图,BD= BG ? DG ? 1 ? 1 ?
2 2 2 2

2 ;∴BE= BO 2 ? OE 2 ? 32 ? 32 ? 3 2

DE= DF ? EF ?
2 2

22 ? 42 ? 2 5 ∴ BD2 ? BE 2 ? 20 , DE 2 ? 20 即: BD2 ? BE 2 ? DE 2 ,所以 ?BDE 是直角三角形 AO BO 2 ∴ ?AOB ? ?DBE ? 90? ,且 , ? ? BD BE 2 ∴ ?AOB ∽ ?DBE
10. (2009 山西省太原市)甲、乙两盏路灯底部间的距离是 30 米,一天晚上,当小华走到 距路灯乙底部 5 米处时,发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部.已知小华的身高为 1.5 米,那么路灯甲的高 为 米.



小华乙

解析:本题考查相似的有关知识,设路灯高为 x 米,由相似得 1.5 5 ,解得 x ? 9 ,所以路灯甲的高为 9 米,故填 9. ? x 30 【关键词】相似三角形的应用 【答案】9. 11. (2009 年浙江省绍兴市)定义一种变换:平移抛物线 F1 得到抛物线 F2 ,使 F2 经过 F1 的 顶点 A .设 F2 的对称轴分别交 F1,F2 于点 D,B ,点 C 是点 A 关于直线 BD 的对称点.

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2 2

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(1)如图 1,若 F1 : y ? x ,经过变换后,得到 F2 : y ? x ? bx ,点 C 的坐标为 (2, , 0) 则① b 的值等于______________; ②四边形 ABCD 为( ) A.平行四边形 B.矩形
2

C.菱形

D.正方形

(2)如图 2,若 F1 : y ? ax ? c ,经过变换后,点 B 的坐标为 (2,c ? 1) ,求 △ABD 的 面积;

1 2 2 7 x ? x ? ,经过变换后, AC ? 2 3 ,点 P 是直线 AC 上的 3 3 3 动点,求点 P 到点 D 的距离和到直线 AD 的距离之和的最小值.
(3)如图 3,若 F1 : y ?

【关键词】平移变换 【答案】 12.(2009 年吉林省)如图,⊙ O 中,弦 AB、CD 相交于 AB 的中点 E ,连接 AD 并延长 至点 F , 使 DF ? AD ,连接 BC、 BF . A D O E C B (1)求证: △CBE ∽△AFB ; (2)当 F

BE 5 CB 的值 ? 时,求 FB 8 AD

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【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】(1)证明:? AE ? EB, AD ? DF ,

? ED 是 △ABF 的中位线, ? ED ∥ BF ,
??CEB ? ?ABF ,
又 ?C ? ?A,

? CBE ∽△AFB, △
(2)解:由(1)知,

△CBE ∽△AFB, CB BE 5 ? ? ? . AF FB 8
又 AF ? 2 AD,

?

CB 5 ? . AD 4

13.(2009 年宁波市)如图 1,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为 (?8, , 0) 直线 BC 经过点 B(?8, , C (0, ,将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 ? 度得到四 6) 6) 边形 OA?B?C? ,此时直线 OA? 、直线 B?C ? 分别与直线 BC 相交于点 P、Q. (1)四边形 OABC 的形状是 , 当 ? ? 90°时,

BP 的值是 BQ



(2)①如图 2,当四边形 OA?B?C? 的顶点 B? 落在 y 轴正半轴时,求

BP 的值; BQ

②如图 3,当四边形 OA?B?C? 的顶点 B? 落在直线 BC 上时,求 △OPB? 的面积.

B?
B A? P C Q B C

y

y

y

A?
C?
P

B? (Q)

B

C

A

O (图 2)

x

A

O (图 3)

C?

x

A

O (备用图)

x

(第 26 题)

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(3)在四边形 OABC 旋转过程中,当 0 ? ? ≤180° 时,是否存在这样的点 P 和点 Q,使

BP ?

1 BQ ?若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 2

【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】解:(1)矩形(长方形);

BP 4 ? . BQ 7
(2)①? ?POC ? ?B?OA? , ?PCO ? ?OA?B? ? 90° , ? COP ∽△A?OB? . △

?

CP OC CP 6 ,即 ? ? , A?B? OA? 6 8 9 7 ? CP ? , BP ? BC ? CP ? . 2 2
同理 △B?CQ ∽△B?C?O ,

?

CQ B?C CQ 10 ? 6 ,即 , ? ? C ?Q B?C ? 6 8

?CQ ? 3 , BQ ? BC ? CQ ? 11.

?

BP 7 . ? BQ 22

②在 △OCP 和 △B?A?P 中,

??OPC ? ?B?PA?, ? ??OCP ? ?A? ? 90°, ?OC ? B?A?, ?

? OCP ≌△B?A?P(AAS) . △

?OP ? B?P . 设 B?P ? x ,
在 Rt△OCP 中, (8 ? x) ? 6 ? x ,解得 x ?
2 2 2

25 . 4

1 25 75 . ? S△OPB? ? ? ? 6 ? 2 4 4
(3)存在这样的点 P 和点 Q ,使 BP ? 点 P 的坐标是 P ? ?9 ? 1

1 BQ . 2

? ?

3 ? ? 7 ? 6 6,? , P2 ? ? ,? . 6 2 ? 4 ? ?

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对于第(3)题,我们提供如下详细解答,对学生无此要求. 过点 Q 画 QH ⊥ OA? 于 H ,连结 OQ ,则 QH ? OC ? ? OC ,

? S△POQ ?

1 1 PQ? , S△POQ ? OP? OC QH , 2 2

? PQ ? OP .
设 BP ? x , y

B?
P B C Q

A?
A H O

C?
x ? BP ?

1 BQ , 2

? BQ ? 2 x ,
① 如图 1,当点 P 在点 B 左侧时,

OP ? PQ ? BQ ? BP ? 3x ,
在 Rt△PCO 中, (8 ? x) ? 6 ? (3x) ,
2 2 2

y B

A?
P H

B?
C Q

C?
A O x 解得 x1 ? 1 ?

3 3 6 , x2 ? 1 ? 6 (不符实际,舍去). 2 2

? PC ? BC ? BP ? 9 ?
3 ? ? ? P ? ?9 ? 6,? . 6 1 2 ? ?

3 6, 2

②如图 2,当点 P 在点 B 右侧时,

?OP ? PQ ? BQ ? BP ? x , PC ? 8 ? x .
在 Rt△PCO 中, (8 ? x) ? 6 ? x ,解得 x ?
2 2 2

25 . 4

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? PC ? BC ? BP ? 8 ?
? 7 ? ? P2 ? ? ,? . 6 ? 4 ?

25 7 ? , 4 4

综上可知,存在点 P ? ?9 ? 1

? ?

1 3 ? ? 7 ? 6 6,? , P2 ? ? ,? ,使 BP ? BQ . 6 2 2 ? 4 ? ?

14.(2009 年义乌)如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=1,点 P 在线段 AB 上运动,设 AP= x ,现 将纸片折叠,使点 D 与点 P 重合,得折痕 EF(点 E、F 为折痕与矩形边的交点),再将纸片 还原。

(1)当 x=0 时,折痕 EF 的长为

#

.;当点 E 与点 A 重合时,折痕 EF 的长为

#

.;

(2)请写出使四边形 EPFD 为菱形的 x 的取值范围,并求出当 x=2 时菱形的边长; (3)令 EF ? y ,当点 E 在 AD、点 F 在 BC 上时,写出 y 与 x 的函数关系式。当 y 取最大
2

值时,判断 ? EAP 与 ? PBF 是否相似?若相似,求出 x 的值;若不相似,请说明理由。 温馨提示:用草稿纸折折看,或许对你有所帮助哦!

【关键词】相似三角形 【答案】 解:(1)3, (2) 1≤ x ≤ 3 .

2

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D

F

C

A

E

P 图1

B 当 x ? 2 时,如图 1,连接 DE、PF ,

? EF 为折痕,? DE ? PE , 令 PE 为 m ,则 AE ? 2 ? m ,
在 Rt△ADE 中, AD2 ? AE 2 ? DE 2 ,

?1 ? (2 ? m)2 ? m2 ,
D E O A P 图2 C F H B 解得 m ?

5 5 ,此时菱形边长为 . 4 4

(3)如图 2,过 E 作 EH ⊥ BC , 易证 △EFH ∽△DPA ,

?
D E

FH AP ,? FH ? 3x ? EH AD
C(F) O 图3 H B

A P

? y ? EF 2 ? EH 2 ? FH 2 ? 9 ? 9 x 2

当 F 与点 C 重合时,如图 3,连接 PF ,

? PF ? DF ? 3 ,? PB ? 32 ? 12 ? 2 2 ,
?0 ≤ x ≤ 3 ? 2 2 .
显然,函数 y ? 9 ? 9 x 的值在 y 轴的右侧随 x 的增大而增大,
2

当 x ? 3 ? 2 2 时, y 有最大值. 此时 ?EPF ? 90°, △EAP ∽△PBF . 综上所述, y 取最大值时, EAP ∽△PBF ,x ? 3 ? 2 2( ?EPF ? 90°不写不扣分) 当 . △ 15.(2009 恩施市)如图,在 △ABC 中, ?A ? 90° BC ? 10, ABC 的面积为 25,点 D , △ 为 AB 边上的任意一点( D 不与 A 、 B 重合),过点 D 作 DE ∥ BC ,交 AC 于点 E .设 DE ? x ,以 DE 为折线将 △ADE 翻折(使 △ADE 落在四边形 DBCE 所在的平面内),

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所得的 △A?DE 与梯形 DBCE 重叠部分的面积记为 y . (1)用 x 表示 △ADE 的面积; (2)求出 0 ? x ≤ 5 时 y 与 x 的函数关系式; (3)求出 5 ? x ? 10 时 y 与 x 的函数关系式; (4)当 x 取何值时, y 的值最大?最大值是多少? A D B E

A?

C

A

B

C

【关键词】相似、二次函数 【答案】解:(1) ∵ DE∥BC

∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C

∴△ADE∽△ABC ∴

S ? ADE DE 2 ?( ) S ? ABC BC

即 S ?ADE ?

1 2 x 4 1 2 x 4

(2)∵BC=10 ∴BC 边所对的三角形的中位线长为 5 ∴当 0﹤ x ? 5 时 y ? S ?ADE ?

(3) 5 ? x ﹤10 时,点 A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形

∵S△A'DE=S△ADE= x 2
∴DE 边上的高 AH=AH'= 由已知求得 AF=5 ∴A'F=AA'-AF=x-5 由△A'MN∽△A'DE 知

1 4

1 x 2

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S ?A' MN A'F 2 ?( ) S ?A' DE A'H
S ?A' MN ? ( x ? 5) 2

1 2 3 x ? ( x ? 5) 2 ? ? x 2 ? 10 x ? 25 4 4 1 (4)在函数 y ? x 2 中 4
∴y? ∵0﹤x≤5 ∴当 x=5 时 y 最大为: 在函数

25 4

3 y ? ? x 2 ? 10 x ? 25 中 4 b 20 25 当x ?? 时 y 最大为: ? 2a 3 3 25 25 ∵ ﹤ 4 3 20 25 ∴当 x ? 时,y 最大为: 3 3

16.(2009 年甘肃庆阳)如图,网格中的每个小正方形的边长都是 1,每个小正方形的顶点 叫做格点. △ACB 和△DCE 的顶点都在格点上,ED 的延长线交 AB 于点 F. (1)求证:△ACB∽△DCE;(2)求证:EF⊥AB.

【关键词】相似三角形

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【答案】 证明:(1) ∵ AC ? 3 , BC ? 6 ? 3 , DC 2 CE 4 2 ∴ AC ? BC . DC CE 又 ∠ACB=∠DCE=90° , ∴ △ACB∽△DCE. (2) ∵ △ACB∽△DCE,∴ ∠ABC=∠DEC. 又 ∠ABC+∠A =90° ,∴ ∠DEC+∠A=90° . ∴ ∠EFA=90° ∴ EF⊥AB. .

17.(2009 泰安)将一个量角器和一个含 30 度角的直角三角板如图(1)放置,图(2)是 由他抽象出的几何图形,其中点 B 在半圆 O 的直径 DE 的延长线上,AB 切半圆 O 于点 F, 且 BC=OD。 (1) 求证:DB∥CF。

(2) 当 OD=2 时,若以 O、B、F 为顶点的三角形与△ABC 相似,求 OB。 【关键词】相似、切线

【答案】证明: (1)连接 OF,如图 ∵AB 且半圆 O 于 F,

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∴OF⊥AB。 ∵CB⊥AB ,∴BC∥OF。 ∵BC=OD,OD=OF, ∴BC=OF。 ∴四边形 OBCF 是平行四边形, ∴DB∥CF。 (2) ∵以 O、B、F 为顶点的三角形与△ABC 相似,∠OFB=∠ABC=90°, ∴∠A∠OBF∠BOF ∵∠OBF=∠BFC,∠BFC>∠A, ∴∠OBF>∠A ∴∠OBF 与∠A 不可能是对顶角。 ∴∠A 与∠BOF 是对应角。 ∴∠BOF=30° ∴OB=OF/cos30°=

4 3 3

18.(2009 泰安)如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,E 是 AC 的中 点,ED 的延长线与 CB 的延长线交于点 F。 (1) 求证:FD2=FB●FC。 (2) 若 G 是 BC 的中点,连接 GD,GD 与 EF 垂直吗?并说明理由。

【关键词】相似、垂直 【答案】证明:(1)∵E 是 Rt△ACD 斜边中点 ∴DE=EA ∴∠A=∠2 ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠A… ∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1,∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A ∴∠FDC=∠FBD ∵F 是公共角 ∴△FBD∽△FDC ∴

FB FD ? FD FC

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∴ FD ? FB ? FC
2

(2)GD⊥EF

理由如下: ∵DG 是 Rt△CDB 斜边上的中线, ∴DG=GC ∴∠3=∠4 由(1)得∠4=∠1 ∴∠3=∠1 ∵∠3+∠5=90° ∴∠5+∠1=90° ∴DG⊥EF 19、(2009 江西)问题背景 在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光 下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息: 甲组:如图 1,测得一根直立于平地,长为 80cm 的竹竿的影长为 60cm. 乙组:如图 2,测得学校旗杆的影长为 900cm. 丙组:如图 3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为 200cm,影长为 156cm. 任务要求 (1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度; (2)如图 3,设太阳光线 NH 与 ? O 相切于点 M .请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯 灯罩的半径(友情提示:如图 3,景灯的影长等于线段 NG 的影长;需要时可采用等式

1562 ? 2082 ? 2602 ).

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E

B 80cm A 60cm 图1

N K E M E O E E 200cm

C

D 900cm 图2

F

G 156cm 图3

H

【关键词】相似、光影 【答案】解:(1)由题意可知:∠BAC ? ∠EDF ? 90?,?BCA ? ?EFD. ∴ △ABC ∽△DEF. ∴

AB AC 80 60 即 ? , ? . DE DF DE 900

∴DE=1200(cm). 所以,学校旗杆的高度是 12m. (2)解法一: 与①类似得:

AB AC 80 60 即 ? , ? . GN GH GN 156

∴GN=208. 在 Rt△NGH 中,根据勾股定理得:

NH 2 ? 1562 ? 2082 ? 2602.
∴NH=260. 设 ? O 的半径为 rcm,连结 OM, ∵NH 切 ? O 于 M,∴ OM ? NH. 则 ∠OMN ? ?HGN ? 90?, ∠ONM ? ∠HNG. 又 ∴ △OMN ∽△HGN. ∴

OM ON ? . HG HN

又 ON ? OK ? KN ? OK ? (GN ? GK ) ? r ? 8 . ∴

r r ?8 解得:r=12. ? , 156 260

所以,景灯灯罩的半径是 12cm.

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E

N K E M E O E 200cm E

B 80cm A 60cm 图1 解法二: 与①类似得:

C

D 900cm 图2

F

G 156cm 图3

H

AB AC 80 60 即 ? , ? . GN GH GN 156

∴GN=208. 设 ? O 的半径为 rcm,连结 OM, ∵NH 切 ? O 于 M,∴ OM ? NH. 则 ∠OMN ? ?HGN ? 90?, ∠ONM ? ∠HNG, 又 ∴ △OMN ∽△HGN.

OM MN r MN 即 ? , ? . HG GN 156 208 4 ∴ MN ? r, ON ? OK ? KN ? OK ? (GN ? GK ) ? r ? 8 . 又 3 在 Rt△OMN 中,根据勾股定理得:

2 ?4 ? r ? ? r ? ? ? r ? 8 ? , r 2 ? 9r ? 36 ? 0. 即 ?3 ? 2 2

解得: r1 ? 12,r2 ? ?3 (不合题意,舍去) 所以,景灯灯罩的半径是 12cm. 20. (2009 年湘西自治州如图,在△ABC 中,DE∥BC,EF∥AB, 求证:△ADE∽△EFC.

【关键词】相似三角形的判定和判定 【答案】证明:∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C

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又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC ∴△ADE∽△EFC
21. (2009 年清远)如图,已知 AB 是 ⊙O 的直径,过点 O 作弦 BC 的平行线,交过点 A 的 切线 AP 于点 P ,连结 AC . (1)求证: △ABC ∽△POA ; (2)若 OB ? 2 , OP ?

7 ,求 BC 的长. 2

【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】(1)证明:? BC ∥OP

??AOP ? ?B ? AB 是直径 ??C ? 90° ? PA 是 ⊙O 的切线,切点为 A ??OAP ? 90° ?C ? ?OAP ? ABC ∽△POA △ (2)? ABC ∽△POA △ BC AB ? ? OA PO 7 ? OB ? 2,PO ? 2 ?OA ? 2,AB ? 4 BC 4 ? ? 7 2 2 7 16 ? BC ? 8, BC ? 2 7
22.(2009 年清远)如图,已知一个三角形纸片 ABC , BC 边的长为 8, BC 边上的高为 6 , (点 M 与点 A、B 不重合) 过点 M 作 MN ∥ BC , , ?B 和 ?C 都为锐角,M 为 AB 一动点 交 AC 于点 N ,在 △AMN 中,设 MN 的长为 x , MN 上的高为 h . (1)请你用含 x 的代数式表示 h . (2)将 △AMN 沿 MN 折叠,使 △AMN 落在四边形 BCNM 所在平面,设点 A 落在平面 的点为 A1 , △ A1MN 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y ,当 x 为何值时, y 最大,最

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大值为多少?

【关键词】分类讨论思想 【答案】解:(1)? MN ∥ BC

? AMN ∽△ABC △ h x ? ? 6 8 3x ?h ? 4
(2)?△ AMN ≌△ A1MN

?△A1MN 的边 MN 上的高为 h ,

① 当点 A1 落在四边形 BCNM 内或 BC 边上时,

1 1 3 3 y ? S△ A1MN = MN h ? x x ? x 2 (0 ? x ≤ 4 ) · · 2 2 4 8
② 当 A1 落在四边形 BCNM 外时,如下图 (4 ? x ? 8) ,
设 △ A1 EF 的边 EF 上的高为 h1 , 则 h1 ? 2h ? 6 ?

3 x?6 2
?△A1EF ∽△A1MN

? EF ∥ MN

?△ A1MN ∽△ABC ?△A1EF ∽△ABC

S△ A1EF S△ABC

?h ? ?? 1? ?6?

2

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2

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1 ? S△ ABC ? ? 6 ? 8 ? 24 2

? S△A1EF

?3 ? ? 2 x?6? 3 2 ?? ? 2 ? ? 2 4? x ? 1 x ? 6 ? 2 ? ? ?

24

? y ? S△ A1MN ? S△ A1EF ?
所以 y ? ?

3 2 ?3 2 9 ? x ? ? x ? 12 x ? 24 ? ? ? x 2 ? 12 x ? 24 8 8 ?2 ?

9 2 x ? 12 x ? 24 8

(4 ? x ? 8) 3 2 x ,取 x ? 4 , y最大 ? 6 8

综上所述:当 0 ? x ≤ 4 时, y ? 当 4 ? x ? 8 时, y ? ? 取x?

9 2 x ? 12 x ? 24 , 8

16 , y最大 ? 8 3 ?8 ? 6 16 ?当 x ? 时, y 最大, y最大 ? 8 3
A

M

N

B

E A1

F

C

23. (2009 年济宁市)如图, ?ABC 中, ?C ? 90 , AC ? 4 , BC ? 3 .半径为 1 的圆的
0

圆心 P 以 1 个单位/ s 的速度由点 A 沿 AC 方向在 AC 上移动, 设移动时间为 t(单位:s ) . (1)当 t 为何值时,⊙ P 与 AB 相切; (2)作 PD ? AC 交 AB 于点 D ,如果⊙ P 和线段 BC 交于点 E ,证明:当 t ? 四边形 PDBE 为平行四边形.

16 s 时, 5

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【关键词】相似 【答案】(1)解:当⊙ P 在移动中与 AB 相切时,设切点为 M ,连 PM , 则 ?AMP ? 90 .
0

∴ ?APM ∽ ?ABC .∴ ∵ AP ? t , AB ? ∴

AP PM . ? AB BC

AC 2 ? BC 2 ? 5 ,

t 1 5 ? .∴ t ? . 5 3 3 (2)证明:∵ BC ? AC , PD ? AC ,∴ BC ∥ DP . 16 16 当t ? s 时, AP ? . 5 5
∴ PC ? 4 ?

4 3 16 4 ? .∴ EC ? PE 2 ? PC 2 ? 12 ? ( ) 2 ? . 5 5 5 5

∴ BE ? BC ? EC ? 3 ?

3 12 ? . 5 5

16 PD AP PD 5 ∵ ?ADP ∽ ?ABC ,∴ .∴ , ? ? BC AC 3 4 12 ∴ PD ? .∴ PD ? BE . 5 16 ∴当 t ? s 时,四边形 PDBE 为平行四边形. 5
24.(2009 年宜宾)如图,公园内有一个长 5 米的跷跷板 AB,当支点 O 在距离 A 端 2 米时, A 端的人可以将 B 端的人跷高 1.5 米, 那么当支点 O 在 AB 的中点时, 端的人下降同样的高 A 度可以将 B 端的人跷高 米.

【关键词】相似三角形的性质

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【答案】1. 25.(2009 年广西钦州)已知:如图,在 Rt △ABC 中,∠ABC=90° ,以 AB 上的点 O 为圆 心,OB 的长为半径的圆与 AB 交于点 E,与 AC 切于点 D. C

D
A E
O
?

B

(1)求证:BC=CD; (2)求证:∠ADE=∠ABD; (3)设 AD=2,AE=1,求⊙O 直径的长. 【关键词】切线长定理、相似三角形. 【答案】 解:(1)∵∠ABC=90° , ∴OB⊥BC. ∵OB 是⊙O 的半径, ∴CB 为⊙O 的切线. 又∵CD 切⊙O 于点 D, ∴BC=CD; (2)∵BE 是⊙O 的直径, ∴∠BDE=90° . ∴∠ADE+∠CDB =90° . 又∵∠ABC=90° , ∴∠ABD+∠CBD=90° . 由(1)得 BC=CD,∴∠CDB =∠CBD. ∴∠ADE=∠ABD; (3)由(2)得,∠ADE=∠ABD,∠A=∠A. ∴△ADE∽△ABD. AD AE ∴ = . AB AD 2 1 ∴ = ,∴BE=3, 2 1 ? BE ∴所求⊙O 的直径长为 3.
3 2 x + bx+c 与坐标轴交于 A、B、C 三 4 3 点, A 点的坐标为(-1,0),过点 C 的直线 y= x-3 与 x 轴交于点 Q,点 P 是线段 4t

26.(2009 年广西钦州)如图,已知抛物线 y=

BC 上的一个动点,过 P 作 PH⊥OB 于点 H.若 PB=5t,且 0<t<1. (1)填空:点 C 的坐标是_▲_,b=_▲_,c=_▲_; (2)求线段 QH 的长(用含 t 的式子表示);

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y
Q

H
B P

A

O

x

C

(3)依点 P 的变化,是否存在 t 的值,使以 P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似?若 存在,求出所有 t 的值;若不存在,说明理由. 【关键词】二次函数、相似三角形. 【答案】 9 解:(1)(0,-3),b=- ,c=-3. 4 3 2 9 (2)由(1),得 y= x - x-3,它与 x 轴交于 A,B 两点,得 B(4,0). 4 4 ∴OB=4,又∵OC=3,∴BC=5. 由题意,得△BHP∽△BOC, ∵OC∶OB∶BC=3∶4∶5, ∴HP∶HB∶BP=3∶4∶5, ∵PB=5t,∴HB=4t,HP=3t. ∴OH=OB-HB=4-4t. 3 由 y= x-3 与 x 轴交于点 Q,得 Q(4t,0). 4t ∴OQ=4t. ①当 H 在 Q、B 之间时, QH=OH-OQ =(4-4t)-4t=4-8t. ②当 H 在 O、Q 之间时, QH=OQ-OH =4t-(4-4t)=8t-4. 综合①,②得 QH=|4-8t|; (3)存在 t 的值,使以 P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似. ①当 H 在 Q、B 之间时,QH=4-8t, 4 ? 8t 3t 若△QHP∽△COQ,则 QH∶CO=HP∶OQ,得 = , 3 4t 7 ∴t= . 32 3t 4 ? 8t 若△PHQ∽△COQ,则 PH∶CO=HQ∶OQ,得 = , 4t 3 即 t2+2t-1=0. ∴t1= 2 -1,t2=- 2 -1(舍去). ②当 H 在 O、Q 之间时,QH=8t-4.

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8t ? 4 3t 若△QHP∽△COQ,则 QH∶CO=HP∶OQ,得 = , 3 4t 25 ∴t= . 32 3t 8t ? 4 若△PHQ∽△COQ,则 PH∶CO=HQ∶OQ,得 = , 4t 3 即 t2-2t+1=0. ∴t1=t2=1(舍去). 7 25 综上所述,存在 t 的值,t1= 2 -1,t2= ,t3= . 32 32

? 27.(2009 年莆田) 已知, 如图 1, 过点 E ? 0, 1? 作平行于 x 轴的直线 l ,抛物线 y ?

1 2 x 上 4

的两点 A、B 的横坐标分别为 ? 1 和 4, 直线 AB 交 y 轴于点 F , 过点 A、B 分别作直线 l 的 垂线,垂足分别为点 C 、 D ,连接 CF、DF . (1)求点 A、B、F 的坐标; (2)求证: CF ? DF ;

(3)点 P 是抛物线 y ?

1 2 x 对称轴右侧图象上的一动点,过点 P 作 PQ ⊥ PO 交 x 轴于点 4

是否存在点 P 使得 △OPQ 与 △CDF 相似?若存在, 请求出所有符合条件的点 P 的坐 Q, 标;若不存在,请说明理由. 【关键词】二次函数、抛物线、一次函数、相似三角形 (1)解:方法一,如图 1,当 x ? ?1 时, y ? 当 x ? 4 时, y ? 4

1 4

, ∴ A ? ?1 ?
B ? 4,? 4
设直线 AB 的解析式为 y ? kx ? b

? ?

1? 4?

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1 ? ??k ? b ? 则? 4 ? 4k ? b ? 4 ?

3 ? ?k ? 解得 ? 4 ?b ? 1 ?

∴直线 AB 的解析式为 y ? 当 x ? 0 时, y ? 1

3 x ?1 4

? F ? 0, 1?
方法二:求 A、B 两点坐标同方法一,如图 2,作 FG ? BD , AH ? BD ,垂足分别为 G 、 , H 交 y 轴于点 N ,则四边形 FOMG 和四边形 NOMH 均为矩形,设 FO ? x ·········· 3 分 ·········· ·········· y B F A
G H M

O D C E (图 2)

l

x

? BGF ∽△BHA △ BG FG ? ? BH AH 4? x 4 ? ? 1 5 4? 4 解得 x ? 1
? F ? 0,1?
(2)证明:方法一:在 Rt△CEF 中, CE ? 1, EF ? 2

?CF 2 ? CE 2 ? EF 2 ? 12 ? 22 ? 5
? CF ? 5
在 Rt△DEF 中, DE ? 4,EF ? 2

? DF 2 ? DE 2 ? EF 2 ? 42 ? 22 ? 20
? DF ? 2 5

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, ? 由(1)得 C ? ?1 ? 1?,D ? 4, 1?

?CD ? 5
?CD2 ? 52 ? 25 ?CF 2 ? DF 2 ? CD2

??CFD ? 90° ? CF ⊥ DF
5 5 ? 3? 方法二:由 (1)知 AF ? 1 ? ? ? ? ,AC ? 4 4 ? 4?
2

? AF ? AC 同理: BF ? BD ??ACF ? ?AFC ? AC ∥ EF ??ACF ? ?CFO ??AFC ? ?CFO 同理: ?BFD ? ?OFD ??CFD ? ?OFC ? ?OFD ? 90° 即 CF ⊥ DF
(3)存在. 解:如图 3,作 PM ⊥ x 轴,垂足为点 M ···· 9 分 ···· ···· y P

F O C E M D 图3 l Q x

又? PQ ⊥ OP

? Rt△OPM ∽ Rt△OQP

?

PM OM ? PQ OP

?

PQ PM ? OP OM

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设 P ? x, x ? ? x ? 0 ? ,则 PM ?
2

? ?

1 4

? ?

1 2 x ,OM ? x 4

①当 Rt△QPO ∽ Rt△CFD 时,

PQ CF 5 1 ? ? ? OP DF 2 5 2

1 2 x PM 4 1 ? ? ? OM x 2 解得 x ? 2
? P ? 2, 1? 1
②当 Rt△OPQ ∽ Rt△CFD 时,

PQ DF 2 5 ? ? ?2 OP CF 5

1 2 x PM 4 ? ? ?2 OM x 解得 x ? 8
? P2 ? 8, ? 16 1? 16 综上,存在点 P ? 2, 、 P2 ? 8, ? 使得 △OPQ 与 △CDF 相似. 14 分 1
28.(2009 年包头)如图,已知 AB 是 ⊙O 的直径,点 C 在 ⊙O 上,过点 C 的直线与 AB 的 延长线交于点 P , AC ? PC , ?COB ? 2?PCB . (1)求证: PC 是 ⊙O 的切线; (2)求证: BC ?

1 AB ; 2

AB (3)点 M 是 ? 的中点, CM 交 AB 于点 N ,若 AB ? 4 ,求 MN ? MC 的值.

【关键词】圆、切线

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解: (1)?OA ? OC, A ? ?ACO , ?? 又? ?COB ? 2?A ?COB ? 2?PCB , , ??A ? ?ACO ? ?PCB . 又? AB 是 ⊙O 的直径, ??ACO ? ?OCB ? 90°, ??PCB ? ?OCB ? 90°,即 OC ⊥CP , 而 OC 是 ⊙O 的半径, ? PC 是 ⊙O 的切线. (2)? AC ? PC, A ? ?P , ?? ??A ? ?ACO ? ?PCB ? ?P , 又??COB ? ?A ? ?ACO,?CBO ? ?P ? ?PCB ,

??COB ? ?CBO, BC ? OC, BC ? ? ?
(3)连接 MA MB , ,

1 AB .) 2

AB AM ? ?点 M 是 ? 的中点,? ? ? BM ,??ACM ? ?BCM ,
而 ?ACM ? ?ABM ,??BCM ? ?ABM ,而 ?BMN ? ?BMC ,

? MBN ∽△MCB ,? △

BM MN 2 ,? BM ? MN ? MC , ? MC BM

AM ? 又? AB 是 ⊙O 的直径, ? ? BM ,

??AMB ? 90° AM ? BM . ,
? AB ? 4, BM ? 2 2 ,? MN ?MC ? BM 2 ? 8 . ?
29. (2009 肇庆).如图 ,在 △ABC 中, AB ? AC,?A ? 36°,线段 AB 的垂直平分 线交 AB 于 D,交 AC 于 E,连接 BE. (1)求证:∠CBE=36°; (2)求证: AE ? AC ?EC .
2

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【关键词】三角形相似 【答案】证明:(1)∵DE 是 AB 的垂直平分线,∴ EA ? EB , ∴ ?EBA ? ?A ? 36° . ∵ AB ? AC,?A ? 36° , ∴ ?ABC ? ?C ? 72° . ∴ (2) (1) 在△BCE 中,?C ? 72° ?CBE ? 36°, 得, ?CBE ? ?ABC ? ?EBA ? 36°. 由 , ∴ ?BEC ? ?C ? 72° ,∴ BC ? BE? AE.在△ABC 与△BEC 中, ?CBE ? ?A, ?C ? ?C , ∴ △ABC ∽△BEC . ∴

AC BC 2 ,即 BC ? AC ?EC . ? BC EC
2

故 AE ? AC ?EC . 30. (2009 年南充)如图,半圆的直径 AB ? 10 ,点 C 在半圆上, BC ? 6 . (1)求弦 AC 的长; (2)若 P 为 AB 的中点, PE ⊥ AB 交 AC 于点 E,求 PE 的长.

【关键词】圆的性质,三角形相似的性质 【答案】解:? AB 是半圆的直径,点 C 在半圆上, ??ACB ? 90° . 在 Rt△ABC 中, AC ?

AB 2 ? BC 2 ? 102 ? 62 ? 8

(2)? PE ⊥ AB , ??APE ? 90°.? ?ACB ? 90° , ??APE ? ?ACB . 又? ?PAE ? ?CAB , ? AEP ∽△ABC , △

?

PE AP ? BC AC

PE ? ? 6
? PE ?

10 ? 8

1 2

30 15 ? . 8 4

31.(2009 年温州)如图,在平面直角坐标系中,直线 AB 与 Y 轴和 X 轴分别交于点 A、点 8, 与反比例函数 y 一罟在第一象限的图象交于点 c(1,6)、点 D(3,x).过点 C 作 CE 上 y 轴于 E,过点 D 作 DF 上 X 轴于 F. (1)求 m,n 的值; (2)求直线 AB 的函数解析式;

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(3)求证:△AEC∽△DFB.

【关键词】反比例函数的定义,待定系数法确定一次函数的解析式,相似的判定 【答案】解:(1)由题意得 1= ∴n=

m ∴m=6 6

6 ∴n=2 3
?k ? b ? 6 ?3k ? b ? 2

(2)设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+b 由题意得 ?

解得 ?

? k ? ?2 ?b ? 8

∴直线 AB 的函数解析式为 y=-2x+8。 (3)∵y=-2x+8 ∴A(0,8),B(4,0) ∵CE⊥y 轴,DF⊥x 轴, ∴∠AEC=∠DFB=Rt∠ ∵AE=DF=2,CE=BF=1, ∴△AEC≌△DFB。 32.(2009 年温州)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4.0 为 BC 边上一点,以 0 为圆 心,OB 为半径作半圆与 BC 边和 AB 边分别交于点 D、点 E,连结 DE. ’ (1)当 BD=3 时,求线段 DE 的长; (2)过点 E 作半圆 O 的切线,当切线与 AC 边相交时,设交点为 F.求证:△FAE 是等腰三角 形.

【关键词】直角三角形、圆的性质,相似的判定,切线的性质,等腰三角形的判定

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【答案】解:(1)∵∠C=90°,AC=3,BC=4, ∴AB=5, ∵DB 为直径, ∴∠DEB=∠C=90°, 又∵∠B=∠B ,∴△DBE∽△ABC

DE BD ? AC AB 9 ∴DE= 。 5




DE 3 ? 3 5

(2)解法一:连结 OE, ∵EF 为半圆 O 的切线, ∴∠DEO+∠DEF=90°, ∵∠AEF+∠DEF=90°, ∴∠AEF=∠DEO, ∵△DBE∽△ABC, ∴∠A=∠EDB, 又∵∠EDO=∠DEO, ∴∠AEF=∠A, ∴△FAE 是等腰三角形。 解法二:连结 OE, ∵EF 为半圆 O 的切线, ∴∠AEF+∠OEB=90°, ∵∠C=90°, ∴∠A+∠B=90°, ∵OE=OB ∴∠OEB=∠B, ∴∠AEF=∠A ∴△FAE 是等腰三角形。 33(2009 临沂)如图,抛物线经过 A(4,,B(1 0) C (0, 2) 三点. 0) ,, ? (1)求出抛物线的解析式; (2)P 是抛物线上一动点,过 P 作 PM ? x 轴,垂足为 M,是否存在 P 点,使得以 A,P, M 为顶点的三角形与 △OAC 相似?若存在,请求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请 说明理由; (3)在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D,使得 △DCA 的面积最大,求出点 D 的坐标.

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【关键词】抛物线的解析式,相似的性质,二次函数的最值问题 【答案】 (1) 该抛物线过点 C (0, 2) , 可设该抛物线的解析式为 y ? ax ? bx ? 2 . 解: ? ? ?
2

将 A(4, , B(1, 代入, 0) 0)

1 ? ?a ? ? 2 , ?16a ? 4b ? 2 ? 0, ? 得? 解得 ? ? a ? b ? 2 ? 0. ?b ? 5 . ? ? 2

1 5 ?此抛物线的解析式为 y ? ? x 2 ? x ? 2 . 2 2
(2)存在.

如图,设 P 点的横坐标为 m , 则 P 点的纵坐标为 ? 当 1 ? m ? 4 时,

1 2 5 m ? m?2 , 2 2

1 5 AM ? 4 ? m , PM ? ? m2 ? m ? 2 . 2 2 又??COA ? ?PMA ? 90°, AM AO 2 ? ? 时, ?①当 PM OC 1 △APM ∽△ACO ,
即 4 ? m ? 2? ?

? 1 2 5 ? m ? m ? 2? . 2 ? 2 ?

解得 m1 ? 2,m2 ? 4 (舍去),? P(2, . 1)

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②当

AM OC 1 1 5 ? ? 时, △APM ∽△CAO ,即 2(4 ? m) ? ? m2 ? m ? 2 . PM OA 2 2 2

解得 m1 ? 4 , m2 ? 5 (均不合题意,舍去)

1) ?当 1 ? m ? 4 时, P(2, .
类似地可求出当 m ? 4 时, P(5, 2) . ? 当 m ? 1 时, P( ? 3, 14) . ? 综上所述,符合条件的点 P 为 (2, 或 (5, 2) 或 ( ? 3, 14) . 1) ? ? (3)如图,设 D 点的横坐标为 t (0 ? t ? 4) ,则 D 点的纵坐标为 ? 过 D 作 y 轴的平行线交 AC 于 E . 由题意可求得直线 AC 的解析式为 y ?

1 2 5 t ? t?2. 2 2

1 x?2. 2

? 1 ? ? E 点的坐标为 ? t, t ? 2 ? . ? 2 ?
1 5 1 ?1 ? ? DE ? ? t 2 ? t ? 2 ? ? t ? 2 ? ? ? t 2 ? 2t . 2 2 2 ?2 ? 1 ? 1 ? ? S△ DAC ? ? ? ? t 2 ? 2t ? ? 4 ? ?t 2 ? 4t ? ?(t ? 2) 2 ? 4 . 2 ? 2 ?

?当 t ? 2 时, △DAC 面积最大.
? D(2, . 1)
34. 2009 年中山) ( 正方形 ABCD 边长为 4,M 、N 分别是 BC 、CD 上的两个动点, M 当 点在 BC 上运动时,保持 AM 和 MN 垂直, (1)证明: Rt△ABM ∽ Rt△MCN ; (2)设 BM ? x ,梯形 ABCN 的面积为 y ,求 y 与 x 之间的函数关系式;当 M 点运动到 什么位置时,四边形 ABCN 面积最大,并求出最大面积; (3)当 M 点运动到什么位置时 Rt△ABM ∽ Rt△AMN ,求 x 的值.

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【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】(1)在正方形 ABCD 中, AB ? BC ? CD ? 4,?B ? ?C ? 90° , ? AM ? MN , ??AMN ? 90°, ??CMN ? ?AMB ? 90° . 在 Rt△ABM 中, ?MAB ? ?AMB ? 90° , ??CMN ? ?MAB , ?Rt△ABM ∽ Rt△MCN . (2)? Rt△ABM ∽ Rt△MCN ,

?

AB BM 4 x , ? , ? ? MC CN 4 ? x CN

? x2 ? 4 x , ? CN ? 4
? 1 ? ? x2 ? 4 x 1 1 ? y ? S梯形ABCN ? ? ? 4 ??4 ? ? x 2 ? 2 x ? 8 ? ? ( x ? 2) 2 ? 10 , 2? 4 2 2 ?
当 x ? 2 时, y 取最大值,最大值为 10. (3)??B ? ?AMN ? 90°,

?要使 △ABM ∽△AMN ,必须有
由(1)知

AM AB , ? MN BM

AM AB , ? MN MC ? BM ? MC , ?当点 M 运动到 BC 的中点时, △ABM ∽△AMN ,此时 x ? 2 .
y A

D

B

O

C

x

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35.(2009 年牡丹江)如图,
2

若 ? ABCD 在平面直角坐标系中, AD ? 6, OA 、 OB 的长是

关于 x 的一元二次方程 x ? 7 x ? 12 ? 0 的两个根,且 OA ? OB. (1)求 sin ?ABC 的值. (2)若 E 为 x 轴上的点,且 S△ AOE ?

16 求经过 D 、 E 两点的直线的解析式,并判断 , 3

△AOE 与 △DAO 是否相似? (3) 若点 M 在平面直角坐标系内, 则在直线 AB 上是否存在点 F, 使以 A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出 F 点的坐标;若不存在,请说明理由.
【关键词】三角函数,一次函数,菱形,相似三角形的综合应用
2 【答案】(1)解 x ? 7 x ? 12 ? 0 得 x1 ? 4,x2 ? 3

?OA ? OB ?OA ? 4,OB ? 3
在 Rt△AOB 中,由勾股定理有 AB ? OA ? OB ? 5
2 2

? sin ?ABC ?

OA 4 ? AB 5 16 3

(2)∵点 E 在 x 轴上, S△ AOE ?

1 16 ? AO ? OE ? 2 3 8 ? OE ? 3
?8 ? ? 8 ? ? E ? ,? 或E ? ? ,? 0 0 ?3 ? ? 3 ?
由已知可知 D(6,4) 设 yDE ? kx ? b, E ? ,? 时有 当 0

?8 ?3

? ?

6 ? ? 4 ? 6k ? b ?k ? 5 ? ? 解得 ? 8 ? ?0 ? 3 k ? b ?b ? ? 16 ? ? 5 ?

? yDE ?

6 16 x? 5 5 6 16 x? 13 13

0 同理 E ? ? ,? 时, yDE ?

? 8 ? ? 3 ?

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8 3 在 △AOD 中, ?OAD ? 90° OA ? 4,OD ? 6 , OE OA ? ? OA OD ? AOE ∽△DAO △
在 △AOE 中, ?AOE ? 90°,OA ? 4,OE ? (3)满足条件的点有四个

? 75 22 ? ? 42 44 ? F1 (3,;F2 (?3,;F3 ? ? , ?;F4 ? ? , ? 8) 0) ? ? 7 ? ? 14 ? 25 25 ?
36. (2009 年凉山州)如图, △ABC 在方格纸中 (1)请在方格纸上建立平面直角坐标系,使 A(2,,C (6, ,并求出 B 点坐标; 3) 2) (2)以原点 O 为位似中心,相似比为 2,在第一象限内将 △ABC 放大,画出放大后的图 形 △A?B?C? ;

A B C

(3)计算 △A?B?C? 的面积 S . 【关键词】位似、相似比、面积 【答案】(1)画出原点 O , x 轴、 y 轴. B(2, , 1) (2)画出图形 △A?B?C? .

(3) S ?

1 ? 4 ? 8 ? 16 . 2
0

37. (2009 年济宁市)如图, ?ABC 中, ?C ? 90 , AC ? 4 , BC ? 3 .半径为 1 的圆的 圆心 P 以 1 个单位/ s 的速度由点 A 沿 AC 方向在 AC 上移动, 设移动时间为 t(单位:s ) .

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(1)当 t 为何值时,⊙ P 与 AB 相切; (2)作 PD ? AC 交 AB 于点 D ,如果⊙ P 和线段 BC 交于点 E ,证明:当 t ? 四边形 PDBE 为平行四边形.

16 s 时, 5

B

B

D

E
A P
·

C

A

P
图2

C

图1

【关键词】相似 【答案】(1)解:当⊙ P 在移动中与 AB 相切时,设切点为 M ,连 PM , 则 ?AMP ? 90 .
0

∴ ?APM ∽ ?ABC .∴ ∵ AP ? t , AB ? ∴

AP PM . ? AB BC

AC 2 ? BC 2 ? 5 ,

t 1 5 ? .∴ t ? . 5 3 3 (2)证明:∵ BC ? AC , PD ? AC ,∴ BC ∥ DP . 16 16 当t ? s 时, AP ? . 5 5
∴ PC ? 4 ?

4 3 16 4 ? .∴ EC ? PE 2 ? PC 2 ? 12 ? ( ) 2 ? . 5 5 5 5

∴ BE ? BC ? EC ? 3 ?

3 12 ? . 5 5

16 PD AP PD 5 ∵ ?ADP ∽ ?ABC ,∴ .∴ , ? ? BC AC 3 4 12 ∴ PD ? .∴ PD ? BE . 5 16 ∴当 t ? s 时,四边形 PDBE 为平行四边形. 5
38. (2009 年宁德市)如图(1),已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方,BC 在直线 MN 上, E 是 BC 上一点,以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG.

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(1)连接 GD,求证:△ADG≌△ABE; (2)连接 FC,观察并猜测∠FCN 的度数,并说明理由; (3)如图(2),将图(1)中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD,AB=a,BC=b(a、b 为常数), E 是线段 BC 上一动点(不含端点 B、C),以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG,使 顶点 G 恰好落在射线 CD 上. 判断当点 E 由 B 向 C 运动时, ∠FCN 的大小是否总保持不变, 若∠FCN 的大小不变,请用含 a、b 的代数式表示 tan∠FCN 的值;若∠FCN 的大小发生改 变,请举例说明. G D

F

M B

E 图(1)

C

N

【关键词】四边形中三角形全等和相似的运用 G A D

F C H N 图 (1) 解:(1)∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形 ∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90? ∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD ∴∠BAE=∠DAG ∴△ BAE≌△DAG (2)∠FCN=45? 理由是:作 FH⊥MN 于 H ∵∠AEF=∠ABE=90? ∴∠BAE +∠AEB=90?,∠FEH+∠AEB=90? ∴∠FEH=∠BAE 又∵AE=EF,∠EHF=∠EBA=90? ∴△EFH≌△ABE ∴FH=BE,EH=AB=BC,∴CH=BE=FH ∵∠FHC=90?,∴∠FCH=45? M B E

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(3)当点 E 由 B 向 C 运动时,∠FCN 的大小总保持不变, 理由是:作 FH⊥MN 于 H 由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90? 结合(1)(2)得∠FEH=∠BAE=∠DAG 又∵G 在射线 CD 上 ∠GDA=∠EHF=∠EBA=90? ∴△EFH≌△GAD,△EFH∽△ABE ∴EH=AD=BC=b,∴CH=BE, EH FH FH ∴ = = AB BE CH FH EH b ∴在 Rt△FEH 中,tan∠FCN= = = CH AB a b ∴当点 E 由 B 向 C 运动时,∠FCN 的大小总保持不变,tan∠FCN= a 39.(2009 年潍坊)已知 △ABC , 延长 BC 到 D, C ?B . AB 的中点 F , 使 D C 取 连结 FD 交 AC 于点 E .

AE 的值; AC (2)若 AB ? a,FB ? EC ,求 AC 的长.
(1)求

解:(1) 过点 F 作 FM ∥ AC ,交 BC 于点 M . ? F 为 AB 的中点

? M 为 BC 的中点, FM ?

1 AC . 2

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由 FM ∥ AC ,得 ?CED ? ?MFD ,

?ECD ? ?FMD,△FMD ∽△ECD ? DC EC 2 ? ? ? DM FM 3 2 2 1 1 ? EC ? FM ? ? AC ? AC 3 3 2 3 1 AC ? AC AE AC ? EC 2 3 ? ? ? ? AC AC AC 3 1 1 (2)? AB ? a, FB ? AB ? a ? 2 2 1 又 FB ? EC, EC ? a ? 2 1 3 ? EC ? AC, AC ? 3EC ? a . ? 3 2 40.(2009 年咸宁市)如图,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开,再把 △ACD 沿 CA 方向平移 得到 △A?C?D? . (1)证明 △A?AD? ≌△CC?B ;

D?

D

A?

A

C?

C

B (2)若 ?ACB ? 30°,试问当点 C ? 在线段 AC 上的什么位置时,四边形 ABC?D? 是菱形, 并请说明理由. 40. (09 湖南怀化)如图,直线 DE 经过⊙ O 上的点 C ,并且 OE ? OD,EC ? DC, O ⊙ 交直线 OD 于 A 、 B 两点,连接 BC , AC ,OC .求证: (1)OC ? DE ; (2)△ACD ∽ △CBD .

【关键词】圆的基本性质、切线定理

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【答案】证明:(1)∵OE=OD,∴△ODE 是等腰三角形, 又 EC=DC,∴C 是底边 DE 上的中点, ∴ OC ? DE. (2)∵AB 是直径,∴∠ACB= 90 , ∴∠B+∠BAC= 90 , 又∠DCA+∠ACO= 90 ,∠ACO=∠BAC, ∴∠DCA=∠B.又∠ADC=∠CDB, ∴△ACD∽△CBD. 41.(09 湖南怀化)如图 11,已知二次函数 y ? ( x ? m) ? k ? m 的图象与 x 轴相交于两
2 2

?

?

?

0) 个不同的点 A( x, 、 B ( x2, ,与 y 轴的交点为 C .设 △ABC 的外接圆的圆心为点 P . 1 0)
(1)求 ⊙P 与 y 轴的另一个交点 D 的坐标; (2)如果 AB 恰好为 ⊙P 的直径,且 △ABC 的面积等于 5 ,求 m 和 k 的值.

【关键词】圆的基本性质、三角形相似的判定和性质 【答案】解 (1)易求得点 C 的坐标为 (0,k ) 由题设可知 x1,x2 是方程 ( x ? m) ? k ? m ? 0 即 x ? 2mx ? k ? 0 的两根,
2 2

2

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所以 x1, ? 2

?2m ? (?2m) 2 ? 4k , 2

所 x1 ? x2 ? ?2m,x1 ? x2 ? k 如图 3,∵⊙P 与 y 轴的另一个交点为 D,由于 AB、CD 是⊙P 的两条相交弦,设它们的交 点为点 O,连结 DB,∴△AOC∽△DOC,则 OD ?

k OA ? OB x1 x 2 ? ? ? 1. OC k k

由题意知点 C 在 y 轴的负半轴上,从而点 D 在 y 轴的正半轴上, 所以点 D 的坐标为(0,1) (2)因为 AB⊥CD, AB 又恰好为⊙P 的直径,则 C、D 关于点 O 对称, 所以点 C 的坐标为 (0, 1) ,即 k ? ?1 ? 又 AB ? x2 ? x1 ? 所以 S△ ABC ?

( x2 ? x1 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (?2m) 2 ? 4k ? 2 m 2 ? k ? 2 m 2 ? 1 ,

1 1 AB ? OC ? ? 2 m2 ? 1 ?1 ? 5 解得 m ? ?2. 2 2

42.(09 湖北宜昌)(09 湖北宜昌)已知:如图 1,把矩形纸片 ABCD 折叠,使得顶点 A 与 边 DC 上的动点 P 重合(P 不与点 D,C 重合), MN 为折痕,点 M,N 分别在边 BC, AD 上,连接 AP,MP,AM, AP 与 MN 相交于点 F.⊙O 过点 M,C,P. (1)请你在图 1 中作出⊙O(不写作法,保留作图痕迹); (2)
AF AN



AP AD

是否相等?请你说明理由;

(3)随着点 P 的运动,若⊙O 与 AM 相切于点 M 时,⊙O 又与 AD 相切于点 H. 设 AB 为 4,请你通过计算,画出这时的图形.(图 2,3 供参考) ..
B M C
B M C O
B M C O

F A N

P D
A

F N

P D
A

F N D

P

图1

图2

图3

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J

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B

M

C

O P

F

A

N

H

D

【关键词】矩形的性质与判定、线段的比和比例线段 【答案】解:(1)如图; (2)

AF AP 与 不相等. AN AD
AF

假设

,则由相似三角形的性质,得 MN∥DC. AN AD ∵∠D=90° ,∴DC⊥AD,∴MN⊥AD. ∵据题意得,A 与 P 关于 MN 对称,∴MN⊥AP. ∵据题意,P 与 D 不重合, ∴这与“过一点(A)只能作一条直线与已知直线(MN)垂直”矛盾. ∴假设不成立. AF AP ∴ 不成立. ? AN AD (2) 解法 2:

?

AP

AF AP 与 不相等. AN AD

理由如下: ∵P, A 关于 MN 对称,∴MN 垂直平分 AP. ∴cos∠FAN=

AF . AN

AD . AP AF AD ∵∠FAN=∠PAD,∴ = . AN AP
∵∠D=90° ∴cos∠PAD= , ∵P 不与 D 重合,P 在边 DC 上;∴AD≠AP. ∴

AD AP AF AP ≠ ;从而 ≠ . AP AD AN AD

(3)∵AM 是⊙O 的切线,∴∠AMP=90° , ∴∠CMP+∠AMB=90° . ∵∠BAM+∠AMB=90° ,∴∠CMP=∠BAM. ∵MN 垂直平分,∴MA=MP, ∵∠B=∠C=90° ∴△ABM≌△MCD. , ∴MC=AB=4, 设 PD=x,则 CP=4-x, ∴BM=PC=4-x. (5 分)

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连结 HO 并延长交 BC 于 J. ∵AD 是⊙O 的切线,∴∠JHD=90° . ∴矩形 HDCJ. (7 分) ∴OJ∥CP, ∴△MOJ∽△MPC, ∴OJ:CP=MO:MP=1:2, ∴OJ=
1 2

(4-x),OH=

1 2

MP=4-OJ=

1 2

(4+x).

∵MC2= MP2-CP2,∴(4+x)2-(4-x)2=16. 解得:x=1.即 PD=1,PC=3, ∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7. 由此画图(图形大致能示意即可).
B M
J

C

O P

F

(3)解法 2: 连接 HO,并延长 HO 交 BC 于 J 点,连接 AO. 由切线性质知,JH⊥AD,∵BC∥AD,∴HJ⊥BC, ∴OJ⊥MC,∴MJ=JC. ∵AM,AH 与⊙O 相切于点 M,H, ∴∠AMO=∠AHO=90° , ∵OM=OH, AO=AO, ∴Rt△AMO≌Rt△AHO. ∴设 AM=x,则 AM=AH=x, 由切线性质得,AM⊥PM, ∴∠AMP=90° ,∴∠BMA+∠CMP=90° . ∵∠BMA+∠BAM=90° ,∴∠BAM=∠CMP , ∵∠B=∠MCP=90° , ∵MN 为 AP 的中垂线,∴AM=MP. ∴△ABM≌△MCP . ∴四边形 ABJH 为矩形,得 BJ=AH=x, Rt△ABM 中,BM= x ? 16 ,
2

A

N

H

D

∴MJ= x ?

x ? 16 =JC,(9 分)
2

∴AB=MC.∴4=2( x ?

x ? 16 ),∴ x ? 5
2

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∴AD=BC= x ? x ?
2 2

x ? 16 =7,
2

∴PC= 5 ? 4 =3. 由此画图(图形大致能示意即可). 43. (2009 年湖北荆州)21.(7 分)如图,AB 是半圆 O 的直径,C 为半圆上一点,N 是 线段 BC 上一点(不与 B﹑C 重合),过 N 作 AB 的垂线交 AB 于 M, 交 AC 的延长线于 E,过 C 点作半圆 O 的切线交 EM 于 F. ⑴求证:△ACO∽△NCF; ⑵若 NC∶CF=3∶2,求 sinB 的值.

【关键词】相似三角形综合 【答案】 44. 2009 年茂名市) ( 如图, Rt△ABC 中,?BAC ? 90° ?C ? 60° BC ? 24, P 是 在 点 , , BC 边上的动点(点 P 与点 B、C 不重合),过动点 P 作 PD ∥ BA 交 AC 于点 D. (1)若 △ABC 与 △DAP 相似,则 ?APD 是多少度? (2 分) (2)试问:当 PC 等于多少时, △APD 的面积最大?最大面积是多少? (4 分) (3)若以线段 AC 为直径的圆和以线段 BP 为直径的圆相外切,求线段 BP 的长.(4 分)

【关键词】二次函数、圆、相似综合题 【答案】(1)当△ABC 与△DAP 相似时,∠APD 的度数是 60° 30° 或 . (2)设 PC ? x ,∵ PD ∥ BA , ?BAC ? 90° ,∴ ?PDC ? 90° , 又∵ ?C ? 60° ,∴ AC ? 24? cos60° ? 12 , CD ? x?cos 60° ? ∴ AD ? 12 ?

1 x, 2

3 1 sin x, x ,而 PD ? x? 60° ? 2 2

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∴ S△ APD ?

1 1 3 ? 1 ? PD?AD ? ? x? 12 ? x ? ? 2 2 2 ? 2 ?

??

3 2 3 ( x ? 24 x) ? ? ( x ? 12) 2 ? 18 3 . 8 8

∴PC 等于 12 时, △APD 的面积最大,最大面积是 18 3 . (3)设以 BP 和 AC 为直径的圆心分别为 O1 、 O2 ,过 O2 作 O2 E ⊥ BC 于点 E , 设 ⊙O1 的半径为 x ,则 BP ? 2x .显然, AC ? 12 ,∴ O2C ? 6 ,∴ CE ? 6? cos60° ? 3 , ∴ O2 E ?

62 ? 32 ? 3 3 ,

O1E ? 24 ? 3 ? x ? 21 ? x ,
又∵ ⊙O1 和 ⊙O2 外切, ∴ O1O2 ? x ? 6 . 在 Rt△O1O2 E 中,有 O1O2 ? O2 E ? O1 E ,
2 2 2

∴ ( x ? 6) ? (21 ? x) ? (3 3) ,
2 2 2

解得: x ? 8 , ∴ BP ? 2x ? 16 .

45. (2009 年湖北十堰市) 如图①, 四边形 ABCD 是正方形, 点 G 是 BC 上任意一点, DE⊥AG 于点 E,BF⊥AG 于点 F. (1) 求证:DE-BF = EF. (2) 当点 G 为 BC 边中点时, 试探究线段 EF 与 GF 之间的数量关系, 并说明理由. (3) 若点 G 为 CB 延长线上一点,其余条件不变.请你在图②中画出图形,写出此时 DE、 BF、EF 之间的数量关系(不需要证明).

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【关键词】正方形的性质与判定、多边形相似 【答案】(1) 证明: ∵ 四边形 ABCD 是正方形, BF⊥AG , DE⊥AG ∴ DA=AB, ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90° ∴ ∠BAF = ∠ADE ∴ △ABF ≌ △DAE ∴ BF = AE , AF = DE ∴ DE-BF = AF-AE = EF (2)EF = 2FG 理由如下: ∵ AB⊥BC , BF⊥AG , AB =2 BG ∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG ∴

AB AF BF ? ? ?2 BF BF FG

∴ AF = 2BF , BF = 2 FG 由(1)知, AE = BF,∴ EF = BF = 2 FG (3) 如图 DE + BF = EF 46. (2009 年山东青岛市) 如图, 在梯形 ABCD 中, AD ∥BC , AD ? 6cm ,CD ? 4cm , BC ? BD ? 10cm ,点 P 由 B 出发沿 BD 方向匀速运动,速度为 1cm/s;同时,线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动,速度为 1cm/s,交 BD 于 Q,连接 PE.若设运动时间为 t (s) ( 0 ? t ? 5 ).解答下列问题: (1)当 t 为何值时, PE ∥ AB ? (2)设 △PEQ 的面积为 y (cm2),求 y 与 t 之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻 t ,使 S△ PEQ ? 说明理由.

2 S△BCD ?若存在,求出此时 t 的值;若不存在, 25

(4)连接 PF ,在上述运动过程中,五边形 PFCDE 的面积是否发生变化?说明理由.

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【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算 【答案】解:(1)∵ PE ∥ AB

DE DP . ? DA DB 而 DE ? t,DP ? 10 ? t , t 10 ? t ∴ ? , 6 10 15 ∴t ? . 4 15 ∴当 t ? (s),PE ∥ AB . 4 (2)∵ EF 平行且等于 CD , ∴四边形 CDEF 是平行四边形.
∴ ∴ ?DEQ ? ?C,?DQE ? ?BDC . ∵ BC ? BD ? 10 , ∴ ?DEQ ? ?C ? ?DQE ? ?BDC . ∴ △DEQ ∽△BCD .

DE EQ . ? BC CD t EQ . ? 10 4 2 ∴ EQ ? t . 5


过 B 作 BM ⊥ CD ,交 CD 于 M ,过 P 作 PN ⊥ EF ,交 EF 于 N .

BM ? 102 ? 22 ? 100 ? 4 ? 96 ? 4 6 .
∵ ED ? DQ ? BP ? t , ∴ PQ ? 10 ? 2t . 又 △PNQ ∽△BMD ,

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PQ PN , ? BD BM
10 ? 2t PN , ? 10 4 6
? t? PN ? 4 6 ?1 ? ? ? 5?
S△ PEQ ? 1 1 2 4 6 2 4 6 ? t? EQ?PN ? ? t ? 4 6 ?1 ? ? ? ? t ? t. 2 2 5 25 5 ? 5?

(3) S△BCD ? ? ?BM ? CD 若 S△ PEQ ? 则有 ?

1 2

1 ? 4? 4 6 ? 8 6 . 2

2 S△BCD , 25

4 6 2 4 6 2 t ? t ? ?8 6 , 25 5 25

, 解得 t1 ? 1 t2 ? 4 .
(4)在 △PDE 和 △FBP 中,

? ? PD ? BF ? 10 ? t, ?△PDE ≌△FBP ? ?PDE ? ?FBP,? ?
∴ S五边形PFCDE ? S△ PDE ? S四边形PFCD

DE ? BP ? t,

? S△FBP ? S四边形PFCD

? S△ BCD ? 8 6 .

∴在运动过程中,五边形 PFCDE 的面积不变. 47.(2009 年广东省)正方形 ABCD 边长为 4, M 、 N 分别是 BC 、 CD 上的两个动点,当 M 点在 BC 上运动 (1)证明: Rt△ABM ∽ Rt△MCN ; (2)设 BM ? x ,梯形 ABCN 的面积为 y ,求 y 与 x 之间的函数关系式;当 M 点运动到 什么位置时,四边形 ABCN 面积最大,并求出最大面积; (3)当 M 点运动到什么位置时 Rt△ABM ∽ Rt△AMN ,求此时 x 的值.

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【关键词】 正方形的性质; 相似三角形判定和性质; 直角梯形; 与二次函数有关的面积问题; 二次函数的极值问题;相似三角形有关的计算和证明 【答案】 解:(1)在正方形 ABCD 中, AB ? BC ? CD ? 4,?B ? ?C ? 90° , ? AM ⊥ MN , ??AMN ? 90°, ??CMN ? ?AMB ? 90° , 在 Rt△ABM 中, ?MAB ? ?AMB ? 90° , ??CMN ? ?MAB , ?Rt△ABM ∽ Rt△MCN , (2)? Rt△ABM ∽ Rt△MCN ,

?

AB BM 4 x , ? , ? ? MC CN 4 ? x CN
? x2 ? 4 x , 4

? CN ?

? 1 ? ? x2 ? 4x 1 1 2 ? y ? S梯形ABCN ? ? ? 4 ? 4 ? ? x 2 ? 2 x ? 8 ? ? ? x ? 2 ? ? 10 , · 2? 4 2 2 ?
当 x ? 2 时, y 取最大值,最大值为 10. (3)??B ? ?AMN ? 90°,

?要使 △ABM ∽△AMN ,必须有
由(1)知

AM AB , ? MN BM

AM AB , ? MN MC ? BM ? MC , ?当点 M 运动到 BC 的中点时, △ABM ∽△AMN ,此时 x ? 2 . 2 8 48.(2009 年山西省)如图,已知直线 l1 : y ? x ? 与直线 l2 : y ? ?2 x ? 16 相交于点 3 3
C,l1、l2 分别交 x 轴于 A、B 两点.矩形 DEFG 的顶点 D、E 分别在直线 l1、l2 上,顶点

F、G 都在 x 轴上,且点 G 与点 B 重合. (1)求 △ABC 的面积;

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(2)求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长; (3)若矩形 DEFG 从原点出发,沿 x 轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移,设移动 时间为 t (0 ≤ t ≤12) 秒,矩形 DEFG 与 △ABC 重叠部分的面积为 S ,求 S 关于 t 的函数 关系式,并写出相应的 t 的取值范围.

y
y

l2
E C D

l1 y

A O

B F(G) x

【关键词】一次函数的几何应用;一次函数与二元一次方程;矩形的性质;特殊平行四边形 相关的面积问题;相似三角形有关的计算 【答案】(1)解:由

2 8 0 得 x ? ? 0, x ? ?4. A 点坐标为 ? ?4,?. ? 3 3

0 由 ?2x ? 16 ? 0, x ? 8. B 点坐标为 ? 8,?. 得 ?
∴ AB ? 8 ? ? ?4 ? ? 12.

2 8 ? ? x ? 5, ? y ? x? , 6 由? ∴ C 点的坐标为 ? 5,?. 3 3 解得 ? ? y ? 6. ? y ? ?2 x ? 16. ?
∴ S△ ABC ?

1 1 AB yC ? ?12 ? 6 ? 36. · 2 2 2 8 ? 8 ? ? 8. 3 3

(2)解:∵点 D 在 l1 上且 xD ? xB ? 8, yD ? ?

8 ∴ D 点坐标为 ? 8,?.

?? ? 又∵点 E 在 l 2 上且 yE ? yD ? 8, 2 xE ? 16 ? 8. xE ? 4.
8 ∴ E 点坐标为 ? 4,?.
∴ OE ? 8 ? 4 ? 4,EF ? 8. (3)解法一: ① 当 0 ≤ t ? 3 时,如图 1,矩形 DEFG 与 △ABC 重叠部分为五边形

CHFGR ( t ? 0 时 , 为 四 边 形 CHFG ) . 过 C 作 CM ? AB 于 M , 则 R △R G B R t C . B t ∽ △ M

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y
y E

l2
C D

y
l1
y R E y

l2
D C R

y
l1
y R E y D

l2
C

l1
y B x

A O

F MG Bx

A F OG M (图 2)

Bx

F AG O

M

(图 1) ∴

(图 3)

BG RG t RG 即 ∴ ? , ? , RG ? 2t. BM CM 3 6 ? Rt△AFH ∽ Rt△AMC, 1 1 2 ∴ S ? S△ ABC ? S△BRG ? S△ AFH ? 36 ? ? t ? 2t ? ? 8 ? t ? ? ? 8 ? t ?. 2 2 3 4 2 16 44 即S ?? t ? t? . 3 3 3 8 2t , 当 3 ? t ? 8 时,如图 2,为梯形面积,∵G(8-t,0)∴GR= 2 (8 ? t ) ? ? 8 ?

3

3

3



1 2 8 2t 8 80 s ? ? 4[ (4 ? t ) ? ? 8 ? ] ? ? t ? 2 3 3 3 3 3

当 8 ? t ? 12 时,如图 3,为三角形面积, s

1 2t t2 ? (8 ? )(12 ? t ) ? ? 8t ? 48 2 3 3

49.(2009 黑龙江大兴安岭)已知:在 ?ABC 中, BC ? AC ,动点 D 绕 ?ABC 的顶点 A 逆 时针旋转,且 AD ? BC ,连结 DC .过 AB 、 DC 的中点 E 、 F 作直线,直线 EF 与直 线 AD 、 BC 分别相交于点 M 、 N .

M
M D F (N) C H A B E
图1

N D F C

C F N M D B E
图3

A

E
图2

B A

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M N D F H A B E C

(1)如图 1,当点 D 旋转到 BC 的延长线上时,点 N 恰好与点 F 重合,取 AC 的中点 H , 连结 HE 、 HF ,根据三角形中位线定理和平行线的性质,可得结论 ?AMF ? ?BNE (不 需证明). (2)当点 D 旋转到图 2 或图 3 中的位置时,?AMF 与 ?BNE 有何数量关系?请分别写出 猜想,并任选一种情况证明. 【关键词】三角形中位线、平行线的性质、阅读理解题 【答案】图 2: ?AMF ? ?ENB 图 3: ?AMF ? ?ENB ? 180 ? 证明:如图 2,取 AC 的中点 H ,连结 HE 、 HF ∵ F 是 DC 的中点, H 是 AC 的中点, ∴ HF // AD , HF ? ∴ ?AMF ? ?HFE . 同理, HE // CB , HE ? ∴ ?ENB ? ?HEF ∵ AD ? BC , ∴ HF ? HE , ∴ ?HEF ? ?HFE ∴ ?ENB ? ?AMF .

1 AD , 2
1 CB , 2

证明图 3 的过程与证明图 2 过程给分相同.

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50. (2009 年崇左)如图, △ABC 中, D、E 分别是边 BC、AB 的中点, AD、CE 相交 于 G .求证:

GE GD 1 ? ? . CE AD 3
A

E G B D C

【关键词】三角形的相似。利用中点做辅助线可得。连接两中点可利用中位线知识得到其结 果。 【答案】

A

E G B D C 证明:连结 ED ,

? D、E 分别是边 BC、AB 的中点, DE 1 ? DE ∥ AC, ? , AC 2 ? ACG ∽△DEG , △ GE GD DE 1 ? ? ? ? , GC AG AC 2 GE GD 1 ? ? ? . CE AD 3
51. (2009 东营)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风 设施.该设施的下部 ABCD 是矩形,其中 AB=2 米,BC=1 米;上部 CDG 是等边三角形,固定 点 E 为 AB 的中点.△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风), MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆. (1)当 MN 和 AB 之间的距离为 0.5 米时,求此时△EMN 的面积; (2)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S(平方米)表示成关于 x 的函数; (3)请你探究△EMN 的面积 S(平方米)有无最大值,若有,请求出这个最大值;若没有, 请说明理由. 【关键词】二次函数与面积,相似 【答案】解:(1)由题意,当 MN 和 AB 之间的距离为 0.5 米时,MN 应位于 DC 下方,且此 时△EMN 中 MN 边上的高为 0.5 米. 所以,S△EMN= =0.5(平方米).

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即△EMN 的面积为 0.5 平方米. (2)①如图 1 所示,当 MN 在矩形区域滑动, 即 0<x≤1 时, △EMN 的面积 S= = ; ②如图 2 所示,当 MN 在三角形区域滑动, 即 1<x< 时, 如图,连接 EG,交 CD 于点 F,交 MN 于点 H, ∵ E 为 AB 中点, ∴ F 为 CD 中点,GF⊥CD,且 FG= . 又∵ MN∥CD, ∴ △MNG∽△DCG. ∴ ,即 .……4 分 故△EMN 的面积 S= = ; 综合可得: (3)①当 MN 在矩形区域滑动时, ,所以有 ; ②当 MN 在三角形区域滑动时,S= . 因而,当 (米)时,S 得到最大值, 最大值 S= = = (平方米). ∵ , ∴ S 有最大值,最大值为 平方米. 52.( 2009 年 枣 庄 市 ) 宽与长的比是

5 ?1 的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩 2

形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金 矩形的方法归纳如下(如图所示): 第一步:作一个正方形 ABCD; 第二步:分别取 AD,BC 的中点 M,N,连接 MN; 第三步:以 N 为圆心,ND 长为半径画弧,交 BC 的延长线于 E; 第四步:过 E 作 EF⊥AD,交 AD 的延长线于 F. 请你根据以上作法,证明矩形 DCEF 为黄金矩形. A M D F

B

N

C

E

【关键词】黄金矩形 【答案】证明:在正方形 ABCD 中,取 AB ? 2a , ∵ N 为 BC 的中点, ∴ NC ?

1 BC ? a . 2

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在 Rt△DNC 中,

ND ? NC 2 ? CD 2 ? a 2 ? (2a ) 2 ? 5a .
又∵ NE ? ND , ∴ CE ? NE ? NC ? ( 5 ? 1)a .



CE ( 5 ? 1 a ) 5 ?1 . ? ? CD 2a 2

故矩形 DCEF 为黄金矩形. 53. (2009 年厦门市)已知:在 ?ABC 中, AB ? AC . (1)设 ?ABC 的周长为 7 , BC ? y , AB ? x ( 2 ≤ x ≤ 3 ).写出 y 关于 x 的函数关系 式,并在直角坐标系中画出此函数的图象; (2)如图, D 是线段 BC 上一点,连接 AD ,若 ?B ? ?BAD .求证: ?BAC ? ?BDA .

【关键词】一次函数的图象,相似三角形 【答案】(1)解:y=7-2x(2≤x≤3) 画直角坐标系 画线段 (2)证明:∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C. ∵ ∠B=∠BAD,∴ ∠BAD=∠C. 又∵ ∠B=∠B, ∴ ?BAC ? ?BDA . 【关键词】三角形三边关系 【答案】B 54.(2009 年赤峰市)如图,一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y=k/x 的图象交于 A、B、 两点,与 x 轴交于点 C,与 y 轴交于点 D,已知 OA=

10

,tan∠AOC=1/3,点 B 的

坐标为(m,-2)。 (1)求反比例函数的解析式 (2)求一次函数的解析式 (3)在 y 轴上存在一点 P,是的△PDC 与△ODC 相似, 请你求出 P 点的坐标。

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55.(2009 年绵阳市)如图,A、P、B、C 是⊙O 上的四点,∠APC =∠BPC = 60?, AB 与 PC 交于 Q 点. P A Q O B C

(1)判断△ABC 的形状,并证明你的结论; (2)求证:

AP AQ ; ? PB QB

(3)若∠ABP = 15?,△ABC 的面积为 4 3 ,求 PC 的长. 【关键词】圆的性质,相似三角形,三角函数 【答案】(1) ∵ ∠ABC =∠APC = 60?,∠BAC =∠BPC = 60?, ∴ ∠ACB = 180?-∠ABC-∠BAC = 60?, ∴ △ABC 是等边三角形. (2)如图,过 B 作 BD∥PA 交 PC 于 D,则 ∠BDP =∠APC = 60?. 又 ∵ ∠AQP =∠BQD,∴ △AQP∽△BQD,

AQ AP ? . QB BD

∵ ∠BPD =∠BDP = 60?, ∴ PB = BD. ∴

AQ AP ? . QB PB

(3)设正△ABC 的高为 h,则 h = BC· 60?. sin

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1 1 BC · = 4 3 , 即 BC · sin 60? = 4 3 ,解得 BC = 4. h BC· 2 2

连接 OB,OC,OP,作 OE⊥BC 于 E. 由△ABC 是正三角形知∠BOC = 120?,从而得∠OCE = 30?, ∴ OC ?

CE 4 . ? cos30? 3

由∠ABP = 15? 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75?,于是 ∠POC = 2∠PBC = 150?. ∴ ∠PCO =(180?-150?)÷2 = 15?. 如图,作等腰直角△RMN,在直角边 RM 上取点 G,使∠GNM = 15?,则∠RNG = 30?,作 GH⊥RN,垂足为 H.设 GH = 1,则 cos∠GNM = cos15? = MN. ∵ 在 Rt△GHN 中,NH = GN · cos30?,GH = GN · sin30?. 于是 RH = GH,MN = RN · sin45?,∴ cos15? =

2? 6 . 4

在图中,作 OF⊥PC 于 E,∴ PC = 2FD = 2 OC · cos15? = 2 2 ?

2 6 . 3

56.(2009 年梅州市)如图 ,梯形 ABCD 中, AB ∥CD ,点 F 在 BC 上,连 DF 与 AB 的延 长线交于点 G. (1)求证: △CDF ∽△BGF ; D E A C F B G

(2) 当点 F 是 BC 的中点时, F 作 EF ∥CD 交 AD 于点 E , AB ? 6cm,EF ? 4cm , 过 若 求 CD 的长. 【关键词】相似三角形 【答案】(1)证明:∵梯形 ABCD , AB ∥CD , ∴ ?CDF ? ?FGB,?DCF ? ?GBF , ∴ △CDF ∽△BGF . (2) 由(1) △CDF ∽△BGF , 又 F 是 BC 的中点, BF ? FC ∴ △CDF ≌△BGF , ∴ DF ? FG,CD ? BG 又∵ EF ∥CD , AB ∥CD , ∴ EF ∥ AG ,得 2EF ? BG ? AB ? BG . ∴ BG ? 2EF ? AB ? 2 ? 4 ? 6 ? 2 , ∴ CD ? BG ? 2cm .

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