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2009年中考数学试题分类汇编之13 二次函数试题及答案


2009 年中考试题 13-二次函数试题及答案 二次函数试题及答案

一、选择题 1、(2009 年台湾)向上发射一枚炮弹,经 x 秒后的高度为 y 公尺,且时间与高度关系为 y=ax2+bx。若此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等,则再下列哪一个时间的高度是最高 的? (A) 第 8 秒 (B) 第 10 秒 (C) 第 12 秒 (D) 第 15 秒 。 2、(2009 年泸州)在平面直角坐标系中,将二次函数 y = 2x 的图象向上平移 2 个单位,
2

所得图象的解析式为 A.y = 2 x 2 ? 2 B.y = 2 x 2 + 2 C.y = 2( x ? 2) 2 D.y = 2( x + 2) 2 )

3、 (2009 年四川省内江市)抛物线 y = ( x ? 2) 2 + 3 的顶点坐标是( 2009 年四川省内江市) A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3)

D.(-2,-3) ).

2 5、(2009 年桂林市、百色市)二次函数 y = ( x + 1) + 2 的最小值是(

A.2

B.1

C.-3

D.

2 3


6、(2009 年上海市)抛物线 y = 2( x + m) 2 + n ( m,n 是常数)的顶点坐标是( A. (m,n) B. ( ?m,n) C. (m, n) ? D. ( ?m, n) ?

7、(2009 年陕西省)根据下表中的二次函数 y = ax 2 + bx + c 的自变量 x 与函数 y 的对应值, 可判断二次函数的图像与 x 轴 【 0
? 7 4



x … -1 y … -1
A.只有一个交点 B.有两个交点,且它们分别在 y 轴两侧 C.有两个交点,且它们均在 y 轴同侧 D.无交点

1 -2

2
? 7 4

… …

8、(2009 威海)二次函数 y = ?3 x 2 ? 6 x + 5 的图象的顶点坐标是(



8) A. (?1,

B. (1 8) ,

C. ( ?1, 2)

D. (1, 4) ? )

9、(2009 湖北省荆门市)函数 y=ax+1 与 y=ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是(

y
1

y
1

y
1

y
1

x

o
A.

o
B.

x

o
C.

x

o
D.

x

解析:本题考查函数图象与性质,当 a > 0 时,直线从左向右是上升的,抛物线开口向上, D 是错的,函数 y=ax+1 与 y=ax2+bx+1(a≠0)的图象必过(0,1),所以 C 是正确的, 故选 C. 10、(2009 年贵州黔东南州)抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可 . 能是( .
2

) B、y= ?

A、y=x -x-2 C、y= ?

1 2 1 x + +1 2 2
2

1 2 1 x ? x +1 2 2

D、y= ? x + x + 2

11、(2009 年齐齐哈尔市)已知二次函数 y = ax + bx + c( a ≠ 0) 的图象如图所示,则下列 ( 齐齐哈尔市)
2

结论: ①ac > 0 ; ② 方程 ax + bx + c = 0 的两根之和大于 0; ③y 随 x 的增大而增大;④
2

a ? b + c < 0 ,其中正确的个数()
A.4 个 y B.3 个 C.2 个 D.1 个

O

1

x

12、 2009 年深圳市)二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图 2 所示,若点 A(1,y1)、B(2, ( 深圳市) y2)是它图象上的两点,则 y1 与 y2 的大小关系是( ) A. y1 < y 2 B. y1 = y 2 C. y1 > y 2

D.不能确定

y 12、 (2009 桂林百色) 二次函数 y = ( x + 1) + 2 的最小值是 (
2

) . 3 O 1 x

A.2

B.1

C.-3

D.

2 3

图4

13、(2009 丽水市)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论: ①a>0. ②该函数的图象关于直线 x = 1 对称. ③当 x = ?1或x = 3 时,函数 y 的值都等于 0. 其中正确结论的个数是( ) O

A.3 B.2 C.1 D.0

14、2009 烟台市) ( 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示, 则一次函数 y = bx + b 2 ? 4ac 与反比例函数 y = y

a+b+c 在同一坐标系内的图象大致为( x
y x x y x

) y x y x

?1

O 1

O A.

O B.

O C.

O D.

15、(2009 年甘肃庆阳)图 6(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在 l 时,拱 顶(拱桥洞的最高点)离水面 2m,水面宽 4m.如图 6(2)建立平面直角坐标系,则抛物 线的关系式是( ) A. y = ?2 x 2 B. y = 2 x 2 C. y = ?

1 2 x 2

D. y =

1 2 x 2

图 6(1)

图 6(2) )

16、(2009 年甘肃庆阳)将抛物线 y = 2 x 2 向下平移 1 个单位,得到的抛物线是( A. y = 2( x + 1) 2 B. y = 2( x ? 1) 2 C. y = 2 x 2 + 1 D. y = 2 x 2 ? 1

17、(2009 年广西南宁)已知二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )的图象如图 4 所示,有 下列四个结论:①b < 0②c > 0③b ? 4ac > 0 ④ a ? b + c < 0 ,其中正确的个数有(
2



A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

18、(2009 年鄂州)已知=次函数 y=ax +bx+c 的图象如图.则下列 5 个代数式:ac,a+b+c, (2009 年鄂州) 4a-2b+c,2a+b,2a-b 中,其值大于 0 的个数为( A.2 B3 C、4 ) D、5

2

19 、 ( 2009 年 孝 感) 将函 数 y = x 2 + x 的 图 象 向 右 平移 a (a > 0) 个 单 位 , 得到 函 数

y = x 2 ? 3 x + 2 的图象,则 a 的值为
A.1 B.2 C.3 D.4

20、(2009 泰安)抛物线 y = ?2 x 2 + 8 x ? 1 的顶点坐标为 (A)(-2,7) (B)(-2,-25) (C)(2,7) (D)(2,-9) 21 、 ( 2009 年 烟 台 市 ) 二 次 函 数 y = ax 2 + bx + c 的 图 象 如 图 所 示 , 则 一 次 函 数

y = bx + b 2 ? 4ac 与反比例函数 y =
y y
?1

a+b+c 在同一坐标系内的图象大致为( x
y y x x



y x

O 1

x

O
A.

x

O
B.

O
C.

O
D.

22、(2009 年嘉兴市)已知 a ≠ 0 ,在同一直角坐标系中,函数 y = ax 与 y = ax 2 的图象有可 年嘉兴市 能是( ▲ )
y
y
?1 ?1

y

y
1

O

x

?1

O

1

x

O

1

x

?1

O

1

x

A.

B.

C.

D.

23、(2009 年新疆)如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确 ... 的是( ) A. h = m B. k = n C. k > n D. h > 0,k > 0

24、(2009 年天津市)在平面直角坐标系中,先将抛物线 y = x 2 + x ? 2 关于 x 轴作轴对称 那么经两次变换后所得的新抛物线的解析 变换, 再将所得的抛物线关于 y 轴作轴对称变换, 式为( ) B. y = ? x 2 + x ? 2 C y = ? x2 + x + 2 D.y = x 2 + x + 2 A. y = ? x 2 ? x + 2

25、( 、(2009 年南宁市)已知二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )的图象如图所示,有下列 年南宁市) 、( 四个结论: ①b < 0②c > 0③b ? 4ac > 0 ④ a ? b + c < 0 ,其中正确的个数有(
2



A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

26、(2009 年衢州)二次函数 y = ( x ? 1) 2 ? 2 的图象上最低点的坐标是
A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2)

27、(2009 年舟山)二次函数 y = ( x ? 1) 2 ? 2 的图象上最低点的坐标是 A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2)

28、(2009 年广州市)二次函数 y = ( x ? 1) + 2 的最小值是(
2



A.2

(B)1

(C)-1

(D)-2

29、(2009 年济宁市)小强从如图所示的二次函数 y = ax + bx + c 的图象中,观察得出了
2

(2) c > 1 ; (3) > 0 ; b (4) a + b + c > 0 ;(5)a ? b + c > 0 . 下面五条信息: (1)a < 0 ; 你认为其中正确信息的个数有 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个

y 1 1 O 1
(第 12 题)

1

2x

30、 2009 年广西钦州) ( 将抛物线 y=2x2 向上平移 3 个单位得到的抛物线的解析式是 ( A.y=2x +3
2


2

B.y=2x -3

2

C.y=2(x+3)

2

D.y=2(x-3)

31、(2009 宁夏)二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 的图象如图所示,对称轴是直线 x = 1 ,则 下列四个结论错误的是( )D .. B. 2a + b = 0 A. c > 0 C. b ? 4ac > 0
2

D. a ? b + c > 0

y

1

?1

O

1

x

(8 题图) 32、(2009 年南充)抛物线 y = a ( x + 1)( x ? 3)( a ≠ 0) 的对称轴是直线( A. x = 1 B. x = ?1 C. x = ?3 D. x = 3 )

33、(2009 年湖州)已知图中的每个小方格都是边长为 1 的小正方形,每个小正方形的顶点称 为格点, 请你在图中任意画一条抛物线, 问所画的抛物线最多能经过 81 个格点中的多少个? ( ) A.6 B.7 C.8 D.9

34、 (2009 年兰州)在同一直角坐标系中,函数 y = mx + m 和函数 y = ? mx + 2 x + 2 ( m
2

是常数,且 m ≠ 0 )的图象可能是 ..

35、(2009 年兰州)把抛物线 y = ? x 2 向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位,则平移 后抛物线的解析式为 A. y = ?( x ? 1) 2 ? 3 C. y = ?( x ? 1) 2 + 3 B. y = ?( x + 1) 2 ? 3 D. y = ?( x + 1) 2 + 3

36、 (2009 年兰州)二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图 6 所示, 则下列关系式不正确的是 A. a <0 B. abc >0 C. a + b + c >0 D. b2 ? 4ac >0

37、(2009 年遂宁)把二次函数 y = ? 1 x 2 ? x + 3 用配方法化成 y = a(x ? h )2 + k 的形式 4 A. y = ? 1 ( x ? 2)2 + 2 4 C. y = ? 1 ( x + 2)2 + 4 4 B. y = 1 ( x ? 2)2 + 4 4 D. y = ? 1 x ? 1 ? + 3 ? ? 2? ?2 )
2

39、(2009 年广州市)二次函数 y = ( x ? 1) 2 + 2 的最小值是( A.2 (B)1 (C)-1 (D)-2

【关键词】二次函数 41、(2009 年台湾)向上发射一枚炮弹,经 x 秒后的高度为 y 公尺,且时间与高度关系为 y=ax2+bx。若此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等,则再下列哪一个时间的高度是最高 的? (A) 第 8 秒 (B) 第 10 秒 (C) 第 12 秒 (D) 第 15 秒 。 【关键词】二次函数极值 【答案】B

43、(2009 年湖北荆州)抛物线 y = 3( x ? 1) + 2 的对称轴是(
2



A. x = 1 C. x = 2

B. x = ?1 D. x = ?2

44、(2009 年新疆乌鲁木齐市)要得到二次函数 y = ? x 2 + 2 x ? 2 的图象,需将 y = ? x 2 的 图象( ). A.向左平移 2 个单位,再向下平移 2 个单位 B.向右平移 2 个单位,再向上平移 2 个单位 C.向左平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位 D.向右平移 1 个单位,再向下平移 1 个单位 【 45、(2009 年黄石市)已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示,有以下结论:①

a + b + c < 0 ;② a ? b + c > 1 ;③ abc > 0 ;④ 4a ? 2b + c < 0 ;⑤ c ? a > 1 其中所有正确
结论的序号是( ) A.①② B. ①③④ C.①②③⑤ D.①②③④⑤ y 1 1
?1 O

x

46、(2009 黑龙江大兴安岭)二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 的图象如图,下列判断错 误的是 A. a < 0 ( ) B. b < 0 C. c < 0 D. b ? 4ac < 0
2

47 、( 2009 年 枣 庄 市 ) 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示,则下列关系式中错 . 误的是( . A.a<0 B.c>0 C. b2 ? 4ac >0 D. a + b + c >0 【关键词】二次函数 y = ax + bx + c (a≠0)与 a,b,c 的关系
2



y

-1

O

1

x

第 11 题图

【答案】D

二、填空题 1、(2009 年北京市)若把代数式 x ? 2 x ? 3 化为 ( x ? m ) + k 的形式,其中 m, k 为常数,
2

2

则m+k =

.

1 1 2、(2009 年安徽)已知二次函数的图象经过原点及点( ? , ? ),且图象与 x 轴的另 2 4
一交点到原点的距离为 1,则该二次函数的解析式为

1 1 3、已知二次函数的图象经过原点及点( ? , ? ),且图象与 x 轴的另一交点到原点的距 2 4
离为 1,则该二次函数的解析式为 . 4、(2009 年郴州市)抛物线 y = - 3( x - 1) 2 + 5 的顶点坐标为__________. 5、(2009 年上海市)12.将抛物线 y = x 2 ? 2 向上平移一个单位后,得以新的抛物线,那么 新的抛物线的表达式是 .

6、 2009 年内蒙古包头) ( 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点 ( ?2, 、 x1, , 0) ( 0) 且 1 < x1 < 2 ,与 y 轴的正半轴的交点在 (0, 的下方.下列结论:① 4a ? 2b + c = 0 ;② 2)

a < b < 0 ;③ 2a + c > 0 ;④ 2a ? b + 1 > 0 .其中正确结论的个数是

个.

7、(2009 襄樊市)抛物线 y = ? x 2 + bx + c 的图象如图 6 所示,则此抛物线的解析式 为 .

y x=1

O

3

x

图6

8、(2009 湖北省荆门市)函数 y = (x ? 2)(3 ? x) 取得最大值时, x = ______. 9、(2009 年淄博市) 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ①过点 (3, ; 1)
②当 x > 0 时,y 随 x 的增大而减小; ③当自变量的值为 2 时,函数值小于 2. 10、(2009 年贵州省黔东南州)二次函数 y = x ? 2 x ? 3 的图象关于原点 O(0, 0)对称
2



的图象的解析式是_________________。

11、(2009 年齐齐哈尔市)当 x = _____________时,二次函数 y = x + 2 x ? 2 有最小值. ( 齐齐哈尔市)
2

12、(2009 年娄底)如图 7,⊙O 的半径为 2,C1 是函数 y= 的图象,则阴影部分的面积是 .?

1 2 1 x 的图象,C2 是函数 y=- x2 2 2

13、(2009 年甘肃庆阳)图 12 为二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象,给出下列说法:

① ab < 0 ; ②方程 ax + bx + c = 0 的根为 x1 = ?1,x2 = 3 ; a + b + c > 0 ; ③ ④当 x > 1 时,
2

y 随 x 值的增大而增大;⑤当 y > 0 时, ?1 < x < 3 . 其中,正确的说法有 .(请写出所有正确说法的序号)

14、(2009 年鄂州)把抛物线 y=ax 2 +bx+c 的图象先向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单 (2009 年鄂州) 位,所得的图象的解析式是 y=x 2 -3x+5,则 a+b+c=__________

15、( 、(2009 白银市)抛物线 y = ? x 2 + bx + c 的部分图象如图 8 所示,请写出与其关系式、 白银市) 、( 图象相关的 2 个正确结论: 图象与 x 正半轴、y 轴交点坐标例外) , .(对称轴方程,

16、(2009 年甘肃定西)抛物线 y = ? x + bx + c 的部分图象如图 8 所示,请写出与其关系式、
2

图象相关的 2 个正确结论: 图象与 x 正半轴、y 轴交点坐标例外)



.(对称轴方程,

17、 (2009 年包头)将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做 成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值 是 cm2. 18、(2009 年包头)已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点 ( ?2, 、 ( x1, , 0) 0)

2) 且 1 < x1 < 2 ,与 y 轴的正半轴的交点在 (0, 的下方.下列结论:① 4a ? 2b + c = 0 ;②
a < b < 0 ;③ 2a + c > 0 ;④ 2a ? b + 1 > 0 .其中正确结论的个数是
个. 19、 (2009 年莆田)出售某种文具盒,若每个获利 x 元,一天可售出 ( 6 ? x ) 个,则当 x = 元时,一天出售该种文具盒的总利润 y 最大. 20、(2009 年本溪)如图所示,抛物线 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )与 x 轴的两个交点分别为

A(?1, 和 B (2, ,当 y < 0 时, x 的取值范围是 0) 0)




21.(2009 年湖州)已知抛物线 y = ax 2 + bx + c ( a >0)的对称轴为直线 x = 1 ,且经过点

( ?1,y1 ),2,y2 ) ,试比较 y1 和 y2 的大小: y1 (
22、(2009 年兰州)二次函数 y =

_ y2 (填“>”,“<”或“=”)

2 2 x 的图象如图 12 所示,点 A0 3

位于坐标原点, 点 A1 , A2 , A3 ,…, A2008 在 y 轴的正半轴上, 点 B1 , B2 ,

2 2 x 位于第一象限的图象上, 3 若△ A0 B1 A1 ,△ A1 B2 A2 ,△ A2 B3 A3 ,…,△ A2007 B2008 A2008 B3 ,…, B2008 在二次函数 y =
都为等边三角形,则△ A2007 B2008 A2008 的边长= .

23、(2009 年北京市)若把代数式 x ? 2 x ? 3 化为 ( x ? m ) + k 的形式,其中 m, k 为常数,
2

2

则m+k =

.

24.(2009 年咸宁市 年咸宁市)已知 A 、 B 是抛物线 y = x 2 ? 4 x + 3 上位置不同的两点,且关于抛物 线的对称轴对称,则点 A 、 B 的坐标可能是_____________.(写出一对即可)

1 1 25、(2009 年安徽)已知二次函数的图象经过原点及点( ? , ? ),且图象与 x 轴的另 2 4
一交点到原 点的距离为 1,则该二次函数的解析式为 .

26、(2009 年黄石市)若抛物线 y = ax 2 + bx + 3 与 y = ? x 2 + 3 x + 2 的两交点关于原点对 称,则 a、b 分别为 有最小值. 三、解答题 1、(2009 年株洲市)如图 1, Rt ?ABC 中, ∠A = 90° , tan B = . 时,二次函数 y = x 2 + 2 x ? 2 27、(2009 黑龙江大兴安岭)当 x =

3 ,点 P 在线段 AB 上 4

运动,点 Q 、 R 分别在线段 BC 、 AC 上,且使得四边形 APQR 是矩形.设 AP 的长为 x , 矩形 APQR 的面积为 y ,已知 y 是 x 的函数,其图象是过点(12,36)的抛物线的一部分 (如图 2 所示). (1)求 AB 的长;(2)当 AP 为何值时,矩形 APQR 的面积最大,并求出最大值. 为了解决这个问题,孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论: 张明:图 2 中的抛物线过点(12,36)在图 1 中表示什么呢? 李明:因为抛物线上的点 ( x, y ) 是表示图 1 中 AP 的长与矩形 APQR 面积的对应关系,那 么,(12,36)表示当 AP = 12 时, AP 的长与矩形 APQR 面积的对应关系. 赵明:对,我知道纵坐标 36 是什么意思了! 孔明:哦,这样就可以算出 AB ,这个问题就可以解决了. 请根据上述对话,帮他们解答这个问题.

C
图1

y
图2

(12,36)

R A P

Q B
O

x

2、 (2009 年株洲市)已知 ?ABC 为直角三角形,∠ACB = 90° , AC = BC ,点 A 、C 在 x 轴上,点 B 坐标为( 3 , m )( m > 0 ),线段 AB 与 y 轴相交于点 D ,以 P (1,0)为 顶点的抛物线过点 B 、 D . (1)求点 A 的坐标(用 m 表示); (2)求抛物线的解析式; (3)设点 Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点,连结 PQ 并延长交 BC 于点 E ,连结

BQ 并延长交 AC 于点 F ,试证明: FC ( AC + EC ) 为定值.
y
B

E Q D O

A

P

F

C

x

3、(2009 年重庆市江津区)某商场在销售旺季临近时 ,某品牌的童装销售价格呈上升趋 势,假如这种童装开始时的售价为每件 20 元,并且每周(7 天)涨价 2 元,从第 6 周开始, 保持每件 30 元的稳定价格销售,直到 11 周结束,该童装不再销售。 (1)请建立销售价格 y(元)与周次 x 之间的函数关系; (2)若该品牌童装于进货当周售完,且这种童装每件进价 z(元)与周次 x 之间的关系为

1 z = ? ( x ? 8) 2 + 12 , 1≤ x ≤11,且 x 为整数,那么该品牌童装在第几周售出后,每 8
件获得利润最大?并求最大利润为多少? 4、(2009 年重庆市江津区)如图,抛物线 y = ? x 2 + bx + c 与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3,0) 两点, (1)求该抛物线的解析式; (2)设(1)中的抛物线交 y 轴与 C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使得△QAC 的周长最小?若存在,求出 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由. (3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P,使△PBC 的面积最大?,若存 在,求出点 P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有,请说明理由.

第 26 题图

5、(2009 年滨州)某商品的进价为每件 40 元.当售价为每件 60 元时,每星期可卖出 300 件,现需降价处理,且经市场调查:每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件.在确保盈利的前 提下,解答下列问题: (1)若设每件降价 x 元、每星期售出商品的利润为 y 元,请写出 y 与 x 的函数关系式,并 求出自变量 x 的取值范围; (2)当降价多少元时,每星期的利润最大?最大利润是多少? (3)请画出上述函数的大致图象. 6、(2009 年滨州) 如图①,某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组 成,在等腰梯形 ABCD 中, AB ∥ DC , AB = 20cm,DC = 30cm,∠ADC = 45° .对 于抛物线部分,其顶点为 CD 的中点 O ,且过 A、B 两点,开口终端的连线 MN 平行且等 于 DC . (1)如图①所示,在以点 O 为原点,直线 OC 为 x 轴的坐标系内,点 C 的坐标为 (15, , 0) 试求 A、B 两点的坐标; (2)求标志的高度(即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离); (3)现根据实际情况,需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为 3cm 的保 护膜,如图②,请在图中补充完整镀膜部分的示意图,并求出镀膜的外围周长. y M A B N A D O B D 45° 20cm 30cm (第 4 题图②) C

C x (第 4 题图①)

7、 (2009 年四川省内江市)如图所示,已知点 A(-1,0),B(3,0),C(0,t),且 t 2009 年四川省内江市) >0, tan∠BAC=3, 抛物线经过 A、 C 三点, P B、 点 (2, 是抛物线与直线 l : y = k ( x + 1) m) 的一个交点。 (1)求抛物线的解析式; (2)对于动点 Q(1,n),求 PQ+QB 的最小值; (3)若动点 M 在直线 l 上方的抛物线上运动, 求△AMP 的边 AP 上的高 h 的最大值。 8、(2009 仙桃)如图,已知抛物线 y=x +bx+c 经过矩形 ABCD 的两个顶点 A、B,AB 平行 于 x 轴,对角线 BD 与抛物线交于点 P,点 A 的坐标为(0,2),AB=4. (1)求抛物线的解析式; (2)若 S△APO=
3 ,求矩形 ABCD 的面积. 2
2

9、(2009 年长春)如图,直线 y = ? 点, 直线 y =

3 x + 6 分别与 x 轴、 y 轴交于 A、B 两 4

y D Q B C O P E A N x M

5 x 与 AB 交于点 C , 与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D . 点 4 E 从点 A 出发,以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左运动.过点 E 作 x 轴的垂

线,分别交直线 AB、OD 于 P、Q 两点,以 PQ 为边向右作正方形 PQMN , 设正方形 PQMN 与 △ ACD 重叠部分 (阴影部分) 的面积为 S(平方单位) 点 .

E 的运动时间为 t (秒). (1)求点 C 的坐标.(1 分) (2)当 0 < t < 5 时,求 S 与 t 之间的函数关系式.(4 分) (3)求(2)中 S 的最大值.(2 分)
(4)当 t > 0 时,直接写出点 ? 4, ? 在正方形 PQMN 内部时 t 的取值范围.(3 分) 10、(2009 年郴州市) 如图 11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点 M(-2, - 1 ),且 P( - 1 ,-2)为双曲线上的一点,Q 为坐标平面上一动点,PA 垂直于 x 轴, QB 垂直于 y 轴,垂足分别是 A、B. (1)写出正比例函数和反比例函数的关系式; (2)当点 Q 在直线 MO 上运动时,直线 MO 上是否存在这样的点 Q,使得△OBQ 与 △OAP 面积相等?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由; (3)如图 12,当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时,作以 OP、OQ 为邻边的平行 四边形 OPCQ,求平行四边形 OPCQ 周长的最小值.

? ?

9? 2?

y

y

B

Q
B Q

A

O x

A

O x

M

M

C P

P
图 11

图 12

10、(2009 年 常 德 市 )已知二次函数过点 A (0, ?2 ),B( ?1 ,0),C( , ). (1)求此二次函数的解析式; (2)判断点 M(1, (3)过点 M(1,

5 9 4 8

1 )是否在直线 AC 上? 2

1 )作一条直线 l 与二次函数的图象交于 E、F 两点(不同于 A,B, 2

C 三点),请自已给出 E 点的坐标,并证明△BEF 是直角三角形.

图8

11、(2009 年陕西省) 如图,在平面直角坐标系中,OB⊥OA,且 OB=2OA,点 A 的坐标是(- 1,2). (1)求点 B 的坐标; (2)求过点 A、O、B 的抛物线的表达式; (3)连接 AB,在(2)中的抛物线上求出点 P,使得 S△ABP=S△ABO.

12、 (2009 年黄冈市)新星电子科技公司积极应对 2008 年世界金融危机, 及时调整投资方向, 瞄准光伏产业,建成了太阳能光伏电池生产线.由于新产品开发初期成本高,且市场占有率 不高等因素的影响, 产品投产上市一年来, 公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程 (公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算 1 次).公司累积获得的利润 y(万元)与销售 时间第 x(月)之间的函数关系式(即前 x 个月的利润总和 y 与 x 之间的关系)对应的点都 在如图所示的图象上.该图象从左至右,依次是线段 OA、曲线 AB 和曲线 BC,其中曲线 AB 为抛物线的一部分, A 为该抛物线的顶点, 点 曲线 BC 为另一抛物线 y = ?5 x + 205 x ? 1230
2

的一部分,且点 A,B,C 的横坐标分别为 4,10,12

(1)求该公司累积获得的利润 y(万元)与时间第 x(月)之间的函数关系式; (2)直接写出第 x 个月所获得 S(万元)与时间 x(月)之间的函数关系式(不需要写 出计算过程); (3)前 12 个月中,第几个月该公司所获得的利润最多?最多利润是多少万元?

13、(2009 武汉)某商品的进价为每件 40 元,售价为每件 50 元,每个月可卖出 210 件;如 果每件商品的售价每上涨 1 元,则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 65 元).设每件商 品的售价上涨 x 元( x 为正整数),每个月的销售利润为 y 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围; (2) 每件商品的售价定为多少元时, 每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? (3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为 2200 元?根据以上结论,请你 直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于 2200 元?

14、(2009 武汉)如图,抛物线 y = ax + bx ? 4a 经过 A( ?1, 、 C (0, 两点,与 x 轴交于 0) 4)
2

另一点 B . (1)求抛物线的解析式; (2)已知点 D ( m,m + 1) 在第一象限的抛物线上,求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标; (3)在(2)的条件下,连接 BD ,点 P 为抛物线上一点,且 ∠DBP = 45° ,求点 P 的坐 标. y

C

A O

B

x

15、(2009 年安顺)如图, 已知抛物线与 x 交于 A(-1, 0)、E(3,0)两点,与 y 轴交于点 B(0, 3)。 (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线顶点为 D,求四边形 AEDB 的面积; (3) △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。

16、(2009 重庆綦江)如图,已知抛物线 y = a ( x ? 1)2 + 3 3( a ≠ 0) 经过点 A( ?2,0) , 抛物线的顶点为 D ,过 O 作射线 OM ∥ AD .过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM 于 点 C , B 在 x 轴正半轴上,连结 BC . (1)求该抛物线的解析式; (2)若动点 P 从点 O 出发,以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动,设点 P 运动的 时间为 t ( s ) .问当 t 为何值时,四边形 DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?

(3)若 OC = OB ,动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发,分别以每秒 1 个长度单 当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止 位和 2 个长度单位的速度沿 OC 和 BO 运动, 运动.设它们的运动的时间为 t ( s ) ,连接 PQ ,当 t 为何值时,四边形 BCPQ 的面积最小? 并求出最小值及此时 PQ 的长. y M D C

P A O Q B x

17、(2009 威海)如图,在直角坐标系中,点 A,B,C 的坐标分别为(-1,0),(3,0)。 (0,3),过 A,B,C 三点的抛物线的对称轴为直线 l ,D 为对称轴 l 上一动点. (1) 求抛物线的解析式; y l (2) 求当 AD+CD 最小时点 D 的坐标; (3) 以点 A 为圆心,以 AD 为半径作⊙A. C ①证明:当 AD+CD 最小时,直线 BD 与⊙A 相切. ②写出直线 BD 与⊙A 相切时,D 点的另一个坐标:___________. A O B x

18、(2009 年内蒙古包头)已知二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )的图象经过点 A(1, , 0)

B(2, , C (0, 2) ,直线 x = m ( m > 2 )与 x 轴交于点 D . 0) ?
(1)求二次函数的解析式; (2)在直线 x = m ( m > 2 )上有一点 E (点 E 在第四象限),使得 E、D、B 为顶点的 三角形与以 A、O、C 为顶点的三角形相似,求 E 点坐标(用含 m 的代数式表示); (3) (2) 在 成立的条件下, 抛物线上是否存在一点 F , 使得四边形 ABEF 为平行四边形? 若存在,请求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积;若不存在,请说明理由. y

O

x

19、 (2009 山西省太原市)已知,二次函数的表达式为 y = 4 x + 8 x .写出这个函数图象的
2

对称轴和顶点坐标,并求图象与 x 轴的交点的坐标.

20、(2009 湖北省荆门市) 一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A( m ? 2 ,0),B(m+2, 0)两点,记抛物线顶点为 C,且 AC⊥BC. (1)若 m 为常数,求抛物线的解析式; (2)若 m 为小于 0 的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标 原点? (3)设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点,问是否存在实数 m,使得△BCD 为等腰三角形?若 存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. y D

O A C 第 25 题图

B

x

20、(2009 年淄博市)如图,在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的边长是 2.O 为坐标 原点,点 A 在 x 的正半轴上,点 C 在 y 的正半轴上.一条抛物线经过 A 点,顶点 D 是 OC 的中点. (1)求抛物线的表达式; (2)正方形 OABC 的对角线 OB 与抛物线交于 E 点,线段 FG 过点 E 与 x 轴垂直,分 别交 x 轴和线段 BC 于 F,G 点,试比较线段 OE 与 EG 的长度; (3)点 H 是抛物线上在正方形内部的任意一点,线段 IJ 过点 H 与 x 轴垂直,分别交 x 轴和线段 BC 于 I、J 点,点 K 在 y 轴的正半轴上,且 OK=OH,请证明△OHI≌△JKC.
y C K D E H O F I A x G J B

(第 24 题)

21、(2009 年贵州省黔东南州)凯里市某大型酒店有包房 100 间,在每天晚餐营业时间, 每间包房收包房费 100 元时,包房便可全部租出;若每间包房收费提高 20 元,则减少 10 间包房租出,若每间包房收费再提高 20 元,则再减少 10 间包房租出,以每次提高 20 元的 这种方法变化下去。 (1)设每间包房收费提高 x(元),则每间包房的收入为 y1(元),但会减少 y2 间包 房租出,请分别写出 y1、y2 与 x 之间的函数关系式。 (2)为了投资少而利润大,每间包房提高 x(元)后,设酒店老板每天晚餐包房总收 入为 y(元),请写出 y 与 x 之间的函数关系式,求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获 得最大包房费收入,并说明理由。

22、(2009 年贵州省黔东南州)已知二次函数 y = x 2 + ax + a ? 2 。 (1)求证:不论 a 为何实数,此函数图象与 x 轴总有两个交点。 (2)设 a<0,当此函数图象与 x 轴的两个交点的距离为 13 时,求出此二次函数的解析式。 (3)若此二次函数图象与 x 轴交于 A、B 两点,在函数图象上是否存在点 P,使得△PAB 的 面积为

3 13 ,若存在求出 P 点坐标,若不存在请说明理由。 2

23、(2009 年江苏省)如图,已知二次函数 y = x 2 ? 2 x ? 1 的图象的顶点为 A .二次函数

y = ax 2 + bx 的图象与 x 轴交于原点 O 及另一点 C , 它的顶点 B 在函数 y = x 2 ? 2 x ? 1 的图
象的对称轴上. (1)求点 A 与点 C 的坐标; (2)当四边形 AOBC 为菱形时,求函数 y = ax 2 + bx 的关系式.

24、 (2009 年浙江省绍兴市)定义一种变换:平移抛物线 F1 得到抛物线 F2 ,使 F2 经过 F1 的 顶点 A .设 F2 的对称轴分别交 F1,F2 于点 D,B ,点 C 是点 A 关于直线 BD 的对称点. (1)如图 1,若 F1 : y = x 2 ,经过变换后,得到 F2 : y = x 2 + bx ,点 C 的坐标为 (2, , 0) 则① b 的值等于______________; ) ②四边形 ABCD 为( A.平行四边形 B.矩形

C.菱形

D.正方形

(2)如图 2,若 F1 : y = ax 2 + c ,经过变换后,点 B 的坐标为 (2,c ? 1) ,求 △ ABD 的 面积;

1 2 2 7 x ? x + ,经过变换后, AC = 2 3 ,点 P 是直线 AC 上的 3 3 3 动点,求点 P 到点 D 的距离和到直线 AD 的距离之和的最小值.
(3)如图 3,若 F1 : y =

26、(2009 年深圳市)已知:Rt△ABC 的斜边长为 5,斜边上的高为 2,将这个直角三角形 ( 深圳市) 放置在平面直角坐标系中,使其斜边 AB 与 x 轴重合(其中 OA<OB),直角顶点 C 落在 y 轴正半轴上。 (1)求线段 OA、OB 的长和经过点 A、B、C 的抛物线的关系式。(4 分) (2)如图,点 D 的坐标为(2,0),点 P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中 m>0, n>0),连接 DP 交 BC 于点 E。 ①当△BDE 是等腰三角形时,直接写出此时点 E 的坐标。 直接写出 .... 图 11 ②又连接 CD、CP,△CDP 是否有最大面积?若有,求出△CDP 的最大面的最大面积和此 时点 P 的坐标;若没有,请说明理由。

1 x + 1 交坐标轴于 A,B 两点,以线段 AB 为 2 边向上作正方形 ABCD ,过点 A,D, 的抛物线与直线另一个交点为 E . C
27、( 、(2009 年台州市)如图,已知直线 y = ? 年台州市) 、( (1)请直接写出点 C , D 的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)若正方形以每秒 5 个单位长度的速度沿射线 AB 下滑,直至顶点 D 落在 x 轴上时停 止.设正方形落在 x 轴下方部分的面积为 S ,求 S 关于滑行时间 t 的函数关系式,并写出相 应自变量 t 的取值范围; (4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时停止,求抛物线上 C , E 两点间的 抛物线弧所扫过的面积. y D C A O B x E
1 y = ? x +1 2

28、 2009 年宁波市) (2009 年宁波市) 如图, 抛物线 y = ax 2 ? 5ax + 4a 与 x 轴相交于点 A、 且过点 C (5, . B, 4) (1)求 a 的值和该抛物线顶点 P 的坐标; (2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物 线的解析式. y C(5,4) 29、(2009 年义乌)如图,抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴的一个交点 A 在点(-2,0)和(-1, 0)之间(包括这两点),顶点 C 是矩形 DEFG 上(包括边界和 内部)的一个动点,则 A O P (第 23 题) B x

(1)abc

#

. 0 (填“ > ”或“ < ”);
# .

(1)a 的取值范围是

30、(2009 河池) 如图 12,已知抛物线 y = x + 4 x + 3 交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于点 C, 抛物线的对称
2

y

轴交 x 轴于点 E,点 B 的坐标为( ?1 ,0). (1)求抛物线的对称轴及点 A 的坐标; (2)在平面直角坐标系 xoy 中是否存在点 P, 与 A、B、C 三点构成一个平行四边形?若存在, 请写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)连结 CA 与抛物线的对称轴交于点 D,在抛物线上是否存在 点 M,使得直线 CM 把四边形 DEOC 分成面积相等的两部分? 若存在,请求出直线 CM 的解析式;若不存在,请说明理由. 图 12 31、(2009 柳州) A D O C

E

B

x

0) 如图 11,已知抛物线 y = ax 2 ? 2ax ? b ( a > 0 )与 x 轴的一个交点为 B ( ?1, ,与 y 轴
的负半轴交于点 C,顶点为 D. (1)直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与 x 轴的另一个交点 A 的坐标; (2)以 AD 为直径的圆经过点 C. ①求抛物线的解析式; ②点 E 在抛物线的对称轴上,点 F 在抛物线上, 且以 B,A,F,E 四点为顶点的四边形为平行四边形,求点 F 的坐标. B C D 图 11 O A x y

32、 (2009 烟台市) 如图, 抛物线 y = ax 2 + bx ? 3 与 x 轴交于 A B 两点, y 轴交于 C 点, , 与 且经过点 (2, 3a ) ,对称轴是直线 x = 1 ,顶点是 M . ? (1) 求抛物线对应的函数表达式; (2) 经过 C,M 两点作直线与 x 轴交于点 N ,在抛物线上是否存在这样的点 P ,使 以点 P,A C,N 为顶点的四边形为平行四边形?若存在, , 请求出点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由; (3) 设直线 y = ? x + 3 与 y 轴的交点是 D , 在线段 BD 上任取一点 E(不与 B,D 重 合),经过 A B,E 三点的圆交直线 BC 于点 F ,试判断 △ AEF 的形状,并 , 说明理由; (4) 当 E 是直线 y = ? x + 3 上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出 结论).

y

A O 1
?3 C

B

x

M

33、 (2009 恩施市)如图,在 △ ABC 中,∠A = 90° BC = 10, ABC 的面积为 25,点 D , △ 为 AB 边上的任意一点( D 不与 A 、 B 重合),过点 D 作 DE ∥ BC ,交 AC 于点 E .设 DE = x ,以 DE 为折线将 △ ADE 翻折(使 △ ADE 落在四边形 DBCE 所在的平面内), 所得的 △ A′DE 与梯形 DBCE 重叠部分的面积记为 y . (1)用 x 表示 △ ADE 的面积; (2)求出 0 < x ≤ 5 时 y 与 x 的函数关系式; (3)求出 5 < x < 10 时 y 与 x 的函数关系式; 34、1.(2009 年甘肃白银)[12 分+附加 4 分]如图 14(1),抛物线 y = x 2 ? 2 x + k 与 [ 附加 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C(0, ?3 ).[图 14(2)、图 14(3)为解答备用图] (1) k = ,点 A 的坐标为 ,点 B 的坐标为 ; (2)设抛物线 y = x 2 ? 2 x + k 的顶点为 M,求四边形 ABMC 的面积; (3)在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D,使四边形 ABDC 的面积最大?若存在,请求 出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由; (4)在抛物线 y = x 2 ? 2 x + k 上求点 Q,使△BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形.

图 14(1)

图 14(2)

图 14(3)

35、(2009 年甘肃庆阳)(10 分)图 19 是二次函数 y = ?

1 2 x + 2 的图象在 x 轴上方的一 2

部分,若这段图象与 x 轴所围成的阴影部分面积为 S,试求出 S 取值的一个范围.

图 19 36(2009 年甘肃庆阳)如图 18,在平面直角坐标系中,将一块腰长为 5 的等腰直角三角板 ABC 放在第二象限,且斜靠在两坐标轴上,直角顶点 C 的坐标为( ?1 ,0),点 B 在抛物 线 y = ax 2 + ax ? 2 上. (1)点 A 的坐标为 ,点 B 的坐标为 ; (2)抛物线的关系式为 ; (3)设(2)中抛物线的顶点为 D,求△DBC 的面积; (4)将三角板 ABC 绕顶点 A 逆时针方向旋转 90°,到达 △ AB′C ′ 的位置.请判断点 B′ 、 C ′ 是否在(2)中的抛物线上,并说明理由.

图 18 37、(2009 年广西南宁)如图 14,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长 120 米,下底 长 180 米,上下底相距 80 米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下底之间有 两条纵向甬道,各甬道的宽度相等.设甬道的宽为 x 米. (1)用含 x 的式子表示横向甬道的面积; (2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时,求甬道的宽; (3)根据设计的要求,甬道的宽不能超过 6 米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽 度成正比例关系,比例系数是 5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米 0.02 万元,那么当 甬道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?

图 14

38、(2009 年鄂州)24、如图所示.某校计划将一块形状为锐角三角形 ABC 的空地进行生态 (2009 年鄂州) 环境改造.已知△ABC 的边 BC 长 120 米,高 AD 长 80 米。学校计划将它分割成△AHG、 △BHE、△GFC 和矩形 EFGH 四部分(如图)。其中矩形 EFGH 的一边 EF 在边 BC 上.其余 两个顶点 H、G 分别在边 AB、AC 上。现计划在△AHG 上种草,每平方米投资 6 元;在△ BHE、△FCG 上都种花,每平方米投资 10 元;在矩形 EFGH 上兴建爱心鱼池,每平方米投 资 4 元。 (1)当 FG 长为多少米时,种草的面积与种花的面积相等? (2)当矩形 EFGH 的边 FG 为多少米时,△ABC 空地改造总投资最小?最小值为多少?

39、(2009 年鄂州)如图所示,将矩形 OABC 沿 AE 折叠,使点 O 恰好落在 BC 上 F 处,以 (2009 年鄂州) CF 为边作正方形 CFGH,延长 BC 至 M,使 CM=|CF—EO|,再以 CM、CO 为边作矩 形 CMNO (1)试比较 EO、EC 的大小,并说明理由 (2)令 m =

S四边形CFGH

S四边形CNMN;

,请问 m 是否为定值?若是,请求出 m 的值;若不是,请说明理由

(3)在(2)的条件下,若 CO=1,CE=

1 2 ,Q 为 AE 上一点且 QF= ,抛物线 y=mx2+bx+c 3 3

经过 C、Q 两点,请求出此抛物线的解析式. (4)在(3)的条件下,若抛物线 y=mx2+bx+c 与线段 AB 交于点 P,试问在直线 BC 上是否存 在点 K,使得以 P、B、K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在,请求直线 KP 与 y 轴 的交点 T 的坐标?若不存在,请说明理由。

40、(2009 年河南)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(4,0)、C 2 (8,0)、D(8,8).抛物线 y=ax +bx 过 A、C 两点. (1)直接写出点 A 的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)动点 P 从点 A 出发.沿线段 AB 向终点 B 运动,同时点 Q 从点 C 出发,沿线段 CD 向终点 D 运动.速度均为每秒 1 个单位长度,运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点

E
①过点 E 作 EF⊥AD 于点 F,交抛物线于点 G.当 t 为何值时,线段 EG 最长? ②连接 EQ.在点 P、Q 运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的 t 值.

41、 如图, △OAB 是边长为 2 的等边三角形, 过点 A 的直线 y = ?

3 x + m与x轴交于点E。 3

(1) 求点 E 的坐标; (2) 求过 A、O、E 三点的抛物线解析式; (3) 若点 P 是(2)中求出的抛物线 AE 段上一动点(不与 A、E 重合),设四边形 OAPE 的面积为 S,求 S 的最大值。 42、 (2009 江西)如图,抛物线 y = ? x 2 + 2 x + 3 与 x 轴相交于 A 、 B 两点(点 A 在点 B 的 左侧),与 y 轴相交于点 C ,顶点为 D . (1)直接写出 A 、 B 、 C 三点的坐标和抛物线的对称轴; (2)连接 BC ,与抛物线的对称轴交于点 E ,点 P 为线段 BC 上的一个动点,过点 P 作 PF ∥ DE 交抛物线于点 F ,设点 P 的横坐标为 m ; ①用含 m 的代数式表示线段 PF 的长,并求出当 m 为何值时,四边形 PEDF 为平行四边 形? ②设 △BCF 的面积为 S ,求 S 与 m 的函数关系式. 43、(2009 年烟台市) 某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出,平均每天能售出 8 年烟台市) 台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这 种冰箱的售价每降低 50 元,平均每天就能多售出 4 台. (1)假设每台冰箱降价 x 元,商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元,请写出 y 与 x 之间 的函数表达式;(不要求写自变量的取值范围) (2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰 箱应降价多少元? (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少?

44、(2009 年烟台市)如图,抛物线 y = ax + bx ? 3 与 x 轴交于 A B 两点,与 y 轴交于 年烟台市) ,
2

C 点,且经过点 (2, 3a ) ,对称轴是直线 x = 1 ,顶点是 M . ? (5) 求抛物线对应的函数表达式; (6) 经过 C,M 两点作直线与 x 轴交于点 N ,在抛物线上是否存在这样的点 P ,使 以点 P,A C,N 为顶点的四边形为平行四边形?若存在, , 请求出点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由; (7) 设直线 y = ? x + 3 与 y 轴的交点是 D , 在线段 BD 上任取一点 E(不与 B,D 重 合),经过 A B,E 三点的圆交直线 BC 于点 F ,试判断 △ AEF 的形状,并 , 说明理由; (8) 当 E 是直线 y = ? x + 3 上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出 结论).
y

A O 1
?3 C

B

x

M

45、(2009 年嘉兴市)如图,曲线 C 是函数 y = 年嘉兴市

6 在第一象限内的图象,抛物线是函数 x

y = ? x 2 ? 2 x + 4 的图象.点 Pn ( x, y ) ( n = 1 2, )在曲线 C 上,且 x,y 都是整数. ,?

(1)求出所有的点 Pn ( x,y ) ; (2)在 Pn 中任取两点作直线,求所有不同直线的条数; (3)从(2)的所有直线中任取一条直线,求所取直线与抛物线有公共点的概率.
y 6 4 2 x

O

2

4

6

46、(2009 年牡丹江市)如图二次函数 y = x + bx + c 的图象经过 A ( ?1,0 ) 和 B ( 3,) 两点, 0
2

且交 y 轴于点 C . (1)试确定 b 、 c 的值; (2)过点 C 作 CD ∥ x 轴交抛物线于点 D, M 为此抛物线的顶点,试确定 △MCD 的形 点 状. y

A

0

B x

C

47、(2009 南宁市)26.如图 14,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长 120 米,下底 ( 南宁市) 长 180 米,上下底相距 80 米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下底之间有 两条纵向甬道,各甬道的宽度相等.设甬道的宽为 x 米. (1)用含 x 的式子表示横向甬道的面积; (2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时,求甬道的宽; (3)根据设计的要求,甬道的宽不能超过 6 米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽 度成正比例关系,比例系数是 5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米 0.02 万元,那么当 甬道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?

48、(2009 年清远)已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 中的 x,y 满足下表:

x y

… …

?2
4

?1
0

0

1

2 0

… …

?2

?2

求这个二次函数关系式.

49、 (2009 年清远) 如图, 已知一个三角形纸片 ABC ,BC 边的长为 8,BC 边上的高为 6 , ∠B 和 ∠C 都为锐角,M 为 AB 一动点 (点 M 与点 A、B 不重合) 过点 M 作 MN ∥ BC , , 交 AC 于点 N ,在 △ AMN 中,设 MN 的长为 x , MN 上的高为 h . (1)请你用含 x 的代数式表示 h .

(2)将 △ AMN 沿 MN 折叠,使 △ AMN 落在四边形 BCNM 所在平面,设点 A 落在平面 的点为 A1 , △ A1MN 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y ,当 x 为何值时, y 最大,最 大值为多少?
A

M

N

B

C

50、(2009 年衢州)如图,已知点 A(-4,8)和点 B(2,n)在抛物线 y = ax 2 上. (1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标,并在 x 轴上找一点 Q,使得 AQ+QB 最短, 求出点 Q 的坐标; (2) 平移抛物线 y = ax 2 ,记平移后点 A 的对应点为 A′,点 B 的对应点为 B′,点 C(-2,0) 和点 D(-4,0)是 x 轴上的两个定点. ① 当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′ 最短,求此时抛物线的函数解析式; ② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形 A′B′CD 的周长最短?若存 在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.

A

y 8 6 4

2 C D -4 -2 O -2 -4

B 2 4 x

51、(2009 年舟山)如图,已知点 A(-4,8)和点 B(2,n)在抛物线 y = ax 2 上. (1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标,并在 x 轴上找一点 Q,使得 AQ+QB 最短, 求出点 Q 的坐标; (2) 平移抛物线 y = ax 2 ,记平移后点 A 的对应点为 A′,点 B 的对应点为 B′,点 C(-2,0) 和点 D(-4,0)是 x 轴上的两个定点. ① 当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′ 最短,求此时抛物线的函数解析式; ② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形 A′B′CD 的周长最短?若存 在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.

A

y 8 6 4

2 C D -4 -2 O -2 -4

B 2 4 x

53、(2009 年广州市)如图 13,二次函数 y = x 2 + px + q ( p < 0) 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C(0,-1),ΔABC 的面积为 (1)求该二次函数的关系式; (2)过 y 轴上的一点 M(0,m)作 y 轴上午垂线,若该垂线与ΔABC 的 外接圆有公共点,求 m 的取值范围; (3)在该二次函数的图象上是否存在点 D,使四边形 ABCD 为直角梯形? 若存在,求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由。

5 。 4

54、(2009 年衡阳市)已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1,-2),求 这个二次函数的关系式.

55、(2009 年益阳市)阅读材料: A 如图 12-1,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直 线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a),中间的这条 直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出 一种计算三角形面积的新方法: S ?ABC = 平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题: (1)求抛物线和直线 AB 的解析式;

铅垂高 h B C

1 ah ,即三角形面积等于水 2

水平宽 a 图 12-1

如图 12-2,抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0),交 y 轴于点 B. (2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结 PA,PB,当 P 点运动到顶点 C 时,求△CAB 的铅垂高 CD 及 S ?CAB ; (3)是否存在一点 P,使 S△PAB= 说明理由.
y C B D 1 O 1 A x

9 S△CAB,若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请 8

图 12-2

56、(2009 年济宁市)某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为 100 元,售价为 130 元, 每星期可卖出 80 件.商家决定降价促销,根据市场调查,每降价 5 元,每星期可多卖出 20 件. (1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元? (2)降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少元?最大销售利润是多 少? ( 年日照) 57、(2009 年日照)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动 通风设施.该设施的下部 ABCD 是矩形,其中 AB=2 米,BC=1 米;上部 CDG 是等边三角 形,固定点 E 为 AB 的中点.△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均 不通风),MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆. (1)当 MN 和 AB 之间的距离为 0.5 米时,求此时△EMN 的面积; (2)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S(平方米)表示成关于 x 的函 数;

(3)请你探究△EMN 的面积 S(平方米)有无最大值,若有,请求出这个最大值;若没有, 请说明理由.
G

M D

N C

A

E (第 23 题图)

B

58、 (2009 年福州)已知直线 l:y=-x+m(m≠0)交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,点 C、M 分别 在 线段 OA、AB 上,且 OC=2CA,AM=2MB,连接 MC,将△ACM 绕点 M 旋转 180°,得 到△FEM, 则点 E 在 y 轴上, 点 F 在直线 l 上;取线段 EO 中点 N,将 ACM 沿 MN 所在直线翻折,得到△PMG,其中 P 与 A 为对称点.记:过点 F 的双曲线为 C1 ,过点 M 且以 B 为顶点的抛物线为 C2 ,过点 P 且以 M 为顶点的抛物线为 C3 . (1) 如图 10,当 m=6 时,①直接写出点 M、F 的坐标,②求 C1 、C2 的 函数解析式; (2)当 m 发生变化时, ①在 C1 的每一支上,y 随 x 的增大如何变化? 请说明理由。 ②若 C2 、 C3 中的 y 都随着 x 的增大而减小,写出 x 的取值范围。 图 10

59、(2009 年宜宾)如图,在平面直角坐标系 x O y 中,等腰梯形 OABC 的下底边 OA 在 x 的 正半轴上,BC∥OA,OC=AB,tan∠BAO=

4 ,点 B 的坐标为(7,4)。 3

(1)求 A、C 的坐标; (2)求经过点 O、B、C 的抛物线的解析式; (3)在第一象限内(2)中的抛物线上是否存在一点 P,使得经过点 P 且与等腰梯形一腰平 行的直线将该梯形分成面积相等的两个部分?若存在,请求出点 P 的横坐标;若不存在,请 说明理由.

y

C

B

O

G H 第24题图

A

x

60、 (2009 年福州)如图 9,等边 ?ABC 边长为 4, E 是边 BC 上动点, EH ⊥ AC 于 H, 过 E 作 EF ∥ AC , 交 线 段 AB 于 点 F , 在 线 段 AC 上 取 点 P , 使 PE = EB 。 设

EC = x(0 < x ≤ 2) 。
(1) 请直接写出图中与线段 EF 相等的两条线段(不再另外添加辅助线); (2)

Q 是线段 AC 上的动点,当四边形 EFPQ 是平行四边形时,求□EFPQ 的面积(用含

x 的代数式表示);
(3) 当(2)中 的□EFPQ 面积最大值时,以 E 为圆心, r 为半径作圆,根据⊙E 与此 时□EFPQ 四条边交点的总个数,求相应的 r 的取值范围。

61、(2009 年重庆)某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视 机每台的售价 y(元)与月份 x 之间满足函数关系 y = ?50 x + 2600 , 去年的月销售量 p(万台)与月份 x 之间成一次函数关系,其中两个 月的销售情况如下表: 月份 1月 5月 销售量 3.9 万台 4.3 万台 (1)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大?最大是多少? (2)由于受国际金融危机的影响,今年 1、2 月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年 12 月份下降了 m% , 且每月的销售量都比去年 12 月份下降了 1.5m%. 国家实施 “家电下乡” 政策,即对农村家庭购买新的家电产品,国家按该产品售价的 13%给予财政补贴.受此政 策的影响, 今年 3 至 5 月份, 该厂家销往农村的这种电视机在保持今年 2 月份的售价不变的 情况下,平均每月的销售量比今年 2 月份增加了 1.5 万台.若今年 3 至 5 月份国家对这种电 视机的销售共给予了财政补贴 936 万元,求 m 的值(保留一位小数). (参考数据: 34 ≈ 5.831 , 35 ≈ 5.916 , 37 ≈ 6.083 , 38 ≈ 6.164 )

62、(2009 年重庆)已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴 的正半轴上,OC 在 x 轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于 点 D,连接 DC,过点 D 作 DE⊥DC,交 OA 于点 E. (1)求过点 E、D、C 的抛物线的解析式; (2)将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后,角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F,另一边与 线段 OC 交于点 G.如果 DF 与(1)中的抛物线交于另一点 M,点 M 的横坐标为

6 ,那么 5

EF=2GO 是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (3)对于(2)中的点 G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q,使得直线 CQ 与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的△PCG 是等腰三角形?若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存 在,请说明理由.
3 2 x +bx+c 与坐标轴交于 A、B、 4 3 C 三点, A 点的坐标为(-1,0),过点 C 的直线 y= x-3 与 x 轴交于点 Q,点 P 是 4t

63、(2009 年广西钦州)如图,已知抛物线 y=

线段 BC 上的一个动点,过 P 作 PH⊥OB 于点 H.若 PB=5t,且 0<t<1. (1)填空:点 C 的坐标是_▲_,b=_▲_,c=_▲_; (2)求线段 QH 的长(用含 t 的式子表示);
y
Q
A

H
B

O

x

P
C

(3)依点 P 的变化,是否存在 t 的值,使以 P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似? 若存在,求出所有 t 的值;若不存在,说明理由.

64、(2009 年广西梧州)如图(9)-1,抛物线 y = ax ? 3ax + b 经过 A( ?1 ,0),C
2

(3, ?2 )两点,与 y 轴交于点 D,与 x 轴交于另一点 B. (1)求此抛物线的解析式; (2)若直线 y = kx + 1( k ≠ 0) 将四边形 ABCD 面积二等分,求 k 的值;

y

A D

O C

B

x

y=kx+1 (3)如图(9)-2,过点 E(1,1)作 EF⊥ x 轴于点 F,将△AEF 绕平面内某点旋转 180°得 △MNQ(点 M、N、Q 分别与点 A、E、F 对应),使点 M、N 在抛物线上,作 MG⊥ x 轴于 点 G,若线段 MG︰AG=1︰2,求点 M,N 的坐标. y
E G A O F Q M N B

x

65. (2009 年甘肃定西)如图 14(1),抛物线 y = x 2 ? 2 x + k 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴 交于点 C(0, ?3 ).[图 14(2)、图 14(3)为解答备用图] (1) k = ,点 A 的坐标为 ,点 B 的坐标为 (2)设抛物线 y = x 2 ? 2 x + k 的顶点为 M,求四边形 ABMC 的面积; (3)在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D,使四边形 ABDC 的面积最大?若存在,请求 出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由; (4)在抛物线 y = x 2 ? 2 x + k 上求点 Q,使△BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形.



66、2009 年包头)某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于 成本单价,且获利不得高于 45%,经试销发现,销售量 y (件)与销售单价 x (元)符合 一次函数 y = kx + b ,且 x = 65 时, y = 55 ; x = 75 时, y = 45 . (1)求一次函数 y = kx + b 的表达式; (2)若该商场获得利润为 W 元,试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式;销售单价定 为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元? (3)若该商场获得利润不低于 500 元,试确定销售单价 x 的范围. 67、 (2009 年包头) 已知二次函数 y = ax + bx + c( a ≠ 0 ) 的图象经过点 A(1, ,B (2, , 0) 0)
2

C (0, 2) ,直线 x = m ( m > 2 )与 x 轴交于点 D . ?
(1)求二次函数的解析式; (2)在直线 x = m ( m > 2 )上有一点 E (点 E 在第四象限),使得 E、D、B 为顶点的 三角形与以 A、O、C 为顶点的三角形相似,求 E 点坐标(用含 m 的代数式表示); (3) (2) 在 成立的条件下, 抛物线上是否存在一点 F , 使得四边形 ABEF 为平行四边形? 若存在,请求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积;若不存在,请说明理由.

y

O

x

68、(2009 年长沙)如图,二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )的图象与 x 轴交于 A、B 两 点,与 y 轴相交于点 C .连结 AC、BC,A、C 两点的坐标分别为 A( ?3, 、 C (0,3) , 0) 且当 x = ?4 和 x = 2 时二次函数的函数值 y 相等. (1)求实数 a,b,c 的值; (2)若点 M 、N 同时从 B 点出发,均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA、BC 边运动, 其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为 t 秒时,连结 MN ,将 △BMN 沿 MN 翻折, B 点恰好落在 AC 边上的 P 处,求 t 的值及点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点 Q ,使得以 B,N,Q 为项点 的三角形与 △ ABC 相似?如果存在,请求出点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.

y C P N

A

M O

B

x

(3)点 P 是抛物线 y =

1 2 x 对称轴右侧图象上的一动点,过点 P 作 PQ ⊥ PO 交 x 轴 4

于点 Q ,是否存在点 P 使得 △OPQ 与 △CDF 相似?若存在,请求出所有符合条件 的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 70、(2009 宁夏)如图,抛物线 y = ?

1 2 2 x + x + 2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 2 2

点. (1)求 A、B、C 三点的坐标; (2)证明 △ ABC 为直角三角形; (3)在抛物线上除 C 点外,是否还存在另外一个点 P ,使 △ ABP 是直角三角形,若存在, 请求出点 P 的坐标,若不存在,请说明理由. y C A O

B

x

71、(2009 肇庆)已知一元二次方程 x 2 + px + q + 1 = 0 的一根为 2. (1)求 q 关于 p 的关系式; (2)求证:抛物线 y = x 2 + px + q 与 x 轴有两个交点; (3)设抛物线 y = x 2 + px + q 的顶点为 M,且与 x 轴相交于 A( x1 ,0)、B( x2 ,0) 两点,求使△AMB 面积最小时的抛物线的解析式.

72、1.( .(2009 年中山)正方形 ABCD 边长为 4, M 、 N 分 年中山) .( 别是 BC 、 CD 上的两个动点,当 M 点在 BC 上运动时,保持 AM 和 MN 垂直, (1)证明: Rt△ ABM ∽ Rt△MCN ; (2)设 BM = x ,梯形 ABCN 的面积为 y ,求 y 与 x 之间的 函数关系式;当 M 点运动到什么位置时,四边形 ABCN 面积 最大,并求出最大面积; (3) M 点运动到什么位置时 Rt△ ABM ∽ Rt△ AMN , 当 求 x 的值.

2.( .(2009 年漳州)阅读材料,解答问题. 年漳州) .( 例:用图象法解一元二次不等式: x ? 2 x ? 3 > 0 .
2

解:设 y = x 2 ? 2 x ? 3 ,则 y 是 x 的二次函数.

∵ a = 1 > 0,
∴抛物线开口向上. 又∵ 当 y = 0 时, x ? 2 x ? 3 = 0 ,
2

解得 x1 = ?1,x2 = 3 .

∴ 由此得抛物线 y = x 2 ? 2 x ? 3 的大致图象如图所示.
观察函数图象可知:当 x < ?1 或 x > 3 时, y > 0 .

∴ x 2 ? 2 x ? 3 > 0 的解集是: x < ?1 或 x > 3 .
(1)观察图象,直接写出一元二次不等式: x ? 2 x ? 3 < 0 的解集是____________;
2

(2)仿照上例,用图象法解一元二次不等式: x ? 1 > 0 .(大致图象画在答题卡上) ...
2

75、( 、(2009 年漳州)如图 1,已知:抛物线 y = 年漳州) 、( 轴交于点 C ,经过 B、C 两点的直线是 y =

1 2 x + bx + c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 2

1 x ? 2 ,连结 AC . 2 (1) B、C 两点坐标分别为 B (_____,_____)、 C (_____,_____),抛物线的函数关
系式为______________; (2)判断 △ ABC 的形状,并说明理由; (3)若 △ ABC 内部能否截出面积最大的矩形 DEFC (顶点 D、E、F、G 在 △ ABC 各边 上)?若能,求出在 AB 边上的矩形顶点的坐标;若不能,请说明理由. [抛物线 y = ax + bx + c 的顶点坐标是 ? ?
2

b 4ac ? b 2 ? , ?] 4a ? ? 2a ?
y

y

A C

O

B

x

A C

O

B

x

图1

图 2(备用)

76、( 、(2009 年哈尔滨)张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的 年哈尔滨) 、( 一边利用足够长的墙另三边用总长为 32 米的篱笆恰好围 成.围成的花圃是如图所示的矩形 ABCD.设 AB 边的长为 x 米.矩形 ABCD 的面积为 S 平方米. (1)求 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的 取值范围). (2)当 x 为何值时,S 有最大值?并求出最大值.

b 4ac ? b 2 (参考公式:二次函数 y = ax + bx + c ( a ≠ 0 ),当 x = ? 时, y最大(小)值 = ) 2a 4a
2

77、 、 (2009 年牡丹江)如图二次函数 y = x 2 + bx + c 的图象经过 A ( ?1,0 ) 和 B ( 3,) 两点, 年牡丹江) 0 ( 且交 y 轴于点 C . (1)试确定 b 、 c 的值; (2)过点 C 作 CD ∥ x 轴交抛物线于点 D, M 为此抛物线的顶点,试确定 △MCD 点 的形状. 参考公式:顶点坐标 ? ?

b 4ac ? b 2 ? , ? 4a ? ? 2a
?

78、(2009 年兰州)如图 17,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为 6 米,底部宽度 OM 为 12 米. 现以 O 点为原点, 所在直线为 x 轴建立直 OM . 角坐标系. . (1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标; (2)求这条抛物线的解析式; (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB, 使 C、D 点在抛物线上,A、B 点在地面 OM 上, 则这个“支撑架”总长的最大值是多少?

77、 (2009 年遂宁)25.如图,二次函数的图象经过点 D(0, 7 3 ),且顶点 C 的横坐标为 4, 9 该图象在 x 轴上截得的线段 AB 的长为 6. ⑴求二次函数的解析式; ⑵在该抛物线的对称轴上找一点 P,使 PA+PD 最小,求出点 P 的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点 Q,使△QAB 与△ABC 相似?如果存在,求出点 Q 的坐标;如果 不存在,请说明理由.

x = ?1,

8、(2009 年济南)已知:抛物线的对称轴为与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C, 其中

A ( ?3,) 、 C ( 0, 2 ). 0 ?
(1)求这条抛物线的函数表达式. (2)已知在对称轴上存在一点 P,使得 △PBC 的周长最小.请求出点 P 的坐标. (3)若点 D 是线段 OC 上的一个动点(不与点 O、点 C 重合).过点 D 作 DE ∥ PC 交 x 轴于点 E. 连接 PD 、 PE .设 CD 的长为 m , △PDE 的面积为 S .求 S 与 m 之间的函数 关系式.试说明 S 是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由. y

A

O

B

x

C

9、(2009 年凉山州)如图,已知抛物线 y = x 2 + bx + c 经过 A(1, , B (0, 两点,顶点 0) 2) 为D. (1)求抛物线的解析式; (2)将 △OAB 绕点 A 顺时针旋转 90°后,点 B 落到点 C 的位置,将抛物线沿 y 轴平移后 经过点 C ,求平移后所得图象的函数关系式; (3)设(2)中平移后,所得抛物线与 y 轴的交点为 B1 ,顶点为 D1 ,若点 N 在平移后的抛 物线上,且满足 △ NBB1 的面积是 △ NDD1 面积的 2 倍,求点 N 的坐标. y

B

O

A D (第 26 题)

x

83、(2009 年广州市)如图 13,二次函数 y = x + px + q ( p < 0) 的图象与 x 轴交于 A、B
2

两点,与 y 轴交于点 C(0,-1),ΔABC 的面积为 (1)求该二次函数的关系式;

5 。 4

(2)过 y 轴上的一点 M(0,m)作 y 轴上午垂线,若该垂线与ΔABC 的 外接圆有公共点,求 m 的取值范围; (3)在该二次函数的图象上是否存在点 D,使四边形 ABCD 为直角梯形? 若存在,求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由。 4.(2009 年衡阳市)已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1,- 2),求这个二次函数的关系式.

5.(2009 年益阳市)阅读材料: 如图 12-1,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直 A 线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a),中间的这条 直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出 一种计算三角形面积的新方法: S ?ABC = 平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题: (1)求抛物线和直线 AB 的解析式;

铅垂高 h B C

1 ah ,即三角形面积等于水 2

水平宽 a 图 12-1

如图 12-2,抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0),交 y 轴于点 B. (2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结 PA,PB,当 P 点运动到顶点 C 时,求△CAB 的铅垂高 CD 及 S ?CAB ; (3)是否存在一点 P,使 S△PAB= 说明理由.
y C B D 1 O 1 A x

9 S△CAB,若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请 8

图 12-2

89、(2009 年济宁市)某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为 100 元,售价为 130 元,每星期可卖出 80 件.商家决定降价促销,根据市场调查,每降价 5 元,每星期可多卖出 20 件. (1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元? (2)降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少元?最大销售利润是 多少?

90、(2009 年株洲市)如图 1, Rt ?ABC 中, ∠A = 90° , tan B =

3 ,点 P 在线段 AB 上 4

运动,点 Q 、 R 分别在线段 BC 、 AC 上,且使得四边形 APQR 是矩形.设 AP 的长为 x , 矩形 APQR 的面积为 y ,已知 y 是 x 的函数,其图象是过点(12,36)的抛物线的一部分 (如图 2 所示). (1)求 AB 的长; (2)当 AP 为何值时,矩形 APQR 的面积最大,并求出最大值. 为了解决这个问题,孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论: 张明:图 2 中的抛物线过点(12,36)在图 1 中表示什么呢? 李明:因为抛物线上的点 ( x, y ) 是表示图 1 中 AP 的长与矩形 APQR 面积的对应关系,那 么,(12,36)表示当 AP = 12 时, AP 的长与矩形 APQR 面积的对应关系. 赵明:对,我知道纵坐标 36 是什么意思了! 孔明:哦,这样就可以算出 AB ,这个问题就可以解决了. 请根据上述对话,帮他们解答这个问题.

C

y
(12,36)

R A
图1

Q P B
O
图2

x

3.(2009 年株洲市)已知 ?ABC 为直角三角形, ∠ACB = 90° , AC = BC ,点 A 、 C 在 x 轴上,点 B 坐标为( 3 , m )( m > 0 ),线段 AB 与 y 轴相交于点 D ,以 P (1,0)为 顶点的抛物线过点 B 、 D . (1)求点 A 的坐标(用 m 表示); (2)求抛物线的解析式;

(3)设点 Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点,连结 PQ 并延长交 BC 于点 E ,连结

BQ 并延长交 AC 于点 F ,试证明: FC ( AC + EC ) 为定值.
y
B

E Q D O

A

P

F

C

x

93. (2009 年重庆市江津区)某商场在销售旺季临近时 ,某品牌的童装销售价格呈上升趋 势,假如这种童装开始时的售价为每件 20 元,并且每周(7 天)涨价 2 元,从第 6 周开始, 保持每件 30 元的稳定价格销售,直到 11 周结束,该童装不再销售。 (1)请建立销售价格 y(元)与周次 x 之间的函数关系; (2)若该品牌童装于进货当周售完,且这种童装每件进价 z(元)与周次 x 之间的关系为

1 z = ? ( x ? 8) 2 + 12 , 1≤ x ≤11,且 x 为整数,那么该品牌童装在第几周售出后,每 8
件获得利润最大?并求最大利润为多少? 94、 (2009 年重庆市江津区)如图,抛物线 y = ? x 2 + bx + c 与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3, 0)两点, (1)求该抛物线的解析式; (2)设(1)中的抛物线交 y 轴与 C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使得△QAC 的周长最小?若存在,求出 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由. (3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P,使△PBC 的面积最大?,若存 在,求出点 P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有,请说明理由. 【关键词】与二次函数有关的面积问题

C

B

A

第 26 题图

95、(2009 年宁德市)如图,已知抛物线 C1: y = a ( x + 2 ) ? 5 的顶点为 P,与 x 轴相 (2009 年宁德市)
2

交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左边),点 B 的横坐标是 1. (1)求P点坐标及a的值;(4分) (2)如图(1),抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称,将抛物线 C2 向右平移,平移 后的抛物线记为 C3,C3 的顶点为 M,当点 P、M 关于点 B 成中心对称时,求 C3 的解析式; (4 分) (3)如图(2),点 Q 是 x 轴正半轴上一点,将抛物线 C1 绕点 Q 旋转 180°后得到抛 物线 C4.抛物线 C4 的顶点为 N,与 x 轴相交于 E、F 两点(点 E 在点 F 的左边),当以点 P、N、F 为顶点的三角形是直角三角形时,求点 Q 的坐标.(5 分) 【关键词】二次函数,勾股定理的运用

C1

y M B O P 图 图(1)1 x

C1

y N A O P 图2 图(2) B Q E F x

A

C2

C3

C4

C1
A

y H O P 图(1) B

M

G

x

C2

C3

解:(1)由抛物线 C1: y = a (x + 2 ) ? 5 得 顶点 P 的为(-2,-5) ∵点 B(1,0)在抛物线 C1 上 ∴ 0 = a (1 + 2)2 ? 5 5 解得,a= 9 (2)连接 PM,作 PH⊥x 轴于 H,作 MG⊥x 轴于 G ∵点 P、M 关于点 B 成中心对称 ∴PM 过点 B,且 PB=MB ∴△PBH≌△MBG
2

∴MG=PH=5,BG=BH=3 ∴顶点 M 的坐标为(4,5) C1 抛物线 C2 由 C1 关于 x 轴对称得到,抛物线 C3 由 C2 平移得到

y N A H B Q G E O K

5 ∴抛物线 C3 的表达式为 y = ? ( x ? 4)2 + 5 9

(3)∵抛物线 C4 由 C1 绕点 x 轴上的点 Q 旋转 180°得到 ∴顶点 N、P 关于点 Q 成中心对称 由(2)得点 N 的纵坐标为 5 P 设点 N 坐标为(m,5) 作 PH⊥x 轴于 H,作 NG⊥x 轴于 G 图(2) 作 PK⊥NG 于 K ∵旋转中心 Q 在 x 轴上 ∴EF=AB=2BH=6 ∴FG=3,点 F 坐标为(m+3,0) H 坐标为(2,0),K 坐标为(m,-5), 根据勾股定理得 PN2=NK2+PK2=m2+4m+104 PF2=PH2+HF2=m2+10m+50 NF2=52+32=34 44 19 ①当∠PNF=90?时,PN2+ NF2=PF2,解得 m= ,∴Q 点坐标为( ,0) 3 3 10 2 ②当∠PFN=90?时,PF2+ NF2=PN2,解得 m= ,∴Q 点坐标为( ,0) 3 3 ③∵PN>NK=10>NF,∴∠NPF≠90? 19 2 综上所得,当 Q 点坐标为( ,0)或( ,0)时,以点 P、N、F 为顶点 3 3 的三角形是直角三角形. 4.(2009 年河北) ? 4.(2009 年河北)已知抛物线 y = ax 2 + bx 经过点 A ( ?3, 3) 和点 P (t,0),且 t ≠ 0. (1)若该抛物线的对称轴经过点 A,如图 12, 请通过观察图象,指出此时 y 的最小值, 并写出 t 的值; (2)若 t = ? 4 ,求 a、b 的值,并指出此时抛 物线的开口方向; (3)直接写出使该抛物线开口向下的 t 的一个值. ..
P -3

F x

C4

y

O

x

-3 A

图 12

98、(2009 年潍坊 、 年潍坊)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,半径为 1 的圆的圆心 O 在坐标原点,

且与两坐标轴分别交于 A、B、C、D 四点.抛物线 y = ax + bx + c 与 y 轴交于点 D ,与
2

直线 y = x 交于点 M 、N ,且 MA、NC 分别与圆 O 相切于点 A 和点 C . (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴交 x 轴于点 E ,连结 DE ,并延长 DE 交圆 O 于 F ,求 EF 的长. (3)过点 B 作圆 O 的切线交 DC 的延长线于点 P ,判断点 P 是否在抛物线上,说明理由. y D E A M O B C F x N

99、(09 湖北宜昌)已知:直角梯形 OABC 的四个顶点是 O(0,0),A( C(
7 2

3 2

,1), B(s,t),

,0),抛物线 y=x2+mx-m 的顶点 P 是直角梯形 OABC 内部或边上的一个动点,m

为常数. (1)求 s 与 t 的值,并在直角坐标系中画出直角梯形 OABC; .. (2)当抛物线 y=x2+mx-m 与直角梯形 OABC 的边 AB 相交时,求 m 的取值范围.

(第 24 题)

100 、 ( 09 湖 南 怀 化 ) 如 图 11 , 已 知 二 次 函 数

y = ( x + m) 2 + k ? m 2 的图象与 x 轴相交于两个不同的点 A( x1, 、 B( x2, ,与 y 轴的交 0) 0)
点为 C .设 △ ABC 的外接圆的圆心为点 P . (1)求 ⊙P 与 y 轴的另一个交点 D 的坐标; (2)如果 AB 恰好为 ⊙P 的直径,且 △ ABC 的面积等于 5 ,求 m 和 k 的值.

S△ ABC =

1 1 AB × OC = × 2 m 2 + 1 × 1 = 5 解得 m = ±2. 2 2

101、(09 湖南邵阳)如图(十二),直线 l 的解析式为 y = ? x + 4 ,它与 x 轴、 y 轴分别 相交于 A、B 两点.平行于直线 l 的直线 m 从原点 O 出发,沿 x 轴的正方形以每秒 1 个单位 长度的速度运动, 它与 x 轴、y 轴分别相交于 M 、N 两点, 设运动时间为 t 秒 0 < t ≤ 4 ) ( . (1)求 A、B 两点的坐标; (2)用含 t 的代数式表示 △MON 的 面积 S1 ; ( 3 ) 以 MN 为 对 角 线 作 矩 形 m OMPN ,记 △MPN 和 △OAB 重合 部分的面积为 S2 , ①当 2 < t ≤ 4 时, 试探究 S2 与 t 之间 的函数关系式; ②在直线 m 的运动过程中,当 t 为何值时, S2 为 △OAB 面积的 N O P M A x 图十二 l y B l m N O y B E P P F M A x

5 ? 16

102、(2009 安徽年)23.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图(1)所示. (1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义. 【解】

(2)写出批发该种水果的资金金额 w(元)与批发量 m(kg)之间的 函数关系式;在下图的坐标系中画出该函数图象;指出金额在什 么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果. 【解】 (3)经调查,某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 数关系如图(2)所示,该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果, 且当日零售价不变,请你帮助该经销商设计进货和销售的方案, 使得当日获得的利润最大. 【解】 (2009 年湖北荆州)已知:点 P( a + 1 , a ? 1 )关于 x 轴的对称点在反比例函数

8 y = ? ( x > 0) 的图像上, x
y 关于 x 的函数 y = k 2 x 2 ? (2k + 1) x + 1 的图像与坐标轴只有两个不同的交点 A﹑B,求 P
点坐标和△PAB 的面积.

(2009 年湖北荆州)由于国家重点扶持节能环保产业,某种节能产品的销售市场逐渐回 暖.某经销商销售这种产品,年初与生产厂家签订了一份进货合同,约定一年内进价为 0.1 万元/台,并预付了 5 万元押金。他计划一年内要达到一定的销售量,且完成此销售量所用

的进货总金额加上押金控制在不低于 34 万元, 但不高于 40 万元. 若一年内该产品的售价 y ( 万 元 / 台 ) 与 月 次 x ( 1 ≤ x ≤ 12 且 为 整 数 ) 满 足 关 系 是 式 :

? ?0.05 x + 0.25 (1 ≤ x < 4) ? y = ? 0.1 (4 ≤ x ≤ 6) ,一年后发现实际每月的销售量 p (台)与月次 x 之间存 .. ?0.015 x + 0.01 (6 < x ≤ 12) ?
在如图所示的变化趋势. ⑴ 直接写出实际每月的销售量 p (台)与月次 x 之间 ...... 的函数关系式; ⑵ 求前三个月中每月的实际销售利润 w (万元)与月 次 x 之间的函数关系式; ⑶ 试判断全年哪一个月的的售价最高,并指出最高售价; ⑷ 请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量.

p (台)
40 36 20 O 4月 12 月

x

(2009 年茂名市)如图,把抛物线 y = x 2 与直线 y = 1 围成的图形 OABC 绕原点 O 顺时针 后,再沿 x 轴向右平移 1 个单位得到图形 O1 A1 B1C1, 则下列结论错误的是( 旋转 90° .. A.点 O1 的坐标是 (1, 0) C.四边形 O1 BA1 B1 是矩形 y B.点 C1 的坐标是 (2, 1) ? D.若连接 OC, 则梯形 OCA1 B1 的面积是 3 )

A ? 11 B ( , )

C 11) (, A1 O1 B1 x C1

O

103、(2009 年茂名市)茂名石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表,请 你解答下列问题:

价 品 种 甲种塑料 乙种塑料 2100(元/吨) 2400(元/吨) 800(元/吨) 1100(元/吨) 200(元/吨) 100(元/吨)
每月还需支付设备管理、 维护费 20000 元



出厂价

成本价

排污处理费

(1)设该车间每月生产甲、乙两种塑料各 x 吨,利润分别为 y1 元和 y2 元,分别求 y1 和

y2 与 x 的函数关系式(注:利润=总收入-总支出);(6 分)
(2)已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过 400 吨,若某月要生产甲、乙两种塑 料共 700 吨,求该月生产甲、乙塑料各多少吨,获得的总利润最大?最大利润是多 少?(4 分) 104、 (2009 年茂名市) 如图, Rt△ ABC 中,∠BAC = 90° ∠C = 60° BC = 24, P 在 , , 点 是 BC 边上的动点(点 P 与点 B、C 不重合),过动点 P 作 PD ∥ BA 交 AC 于点 D. (2 分) (1)若 △ ABC 与 △DAP 相似,则 ∠APD 是多少度? (2)试问:当 PC 等于多少时, △ APD 的面积最大?最大面积是多少? (4 分) (3)若以线段 AC 为直径的圆和以线段 BP 为直径的圆相外切,求线段 BP 的长.(4 分)

A D

60° B P C

105、1.(2009 年湖北十堰市)如图①, 已知抛物线 y = ax 2 + bx + 3 (a≠0)与 x 轴交

于点 A(1,0)和点 B (-3,0),与 y 轴交于点 C. (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ,问在对称轴上是否存在点 P,使△CMP 为等腰三 角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图②,若点 E 为第二象限抛物线上一动点,连接 BE、CE,求四边形 BOCE 面积的 最大值,并求此时 E 点的坐标.

107、(2009 年山东青岛市)某水产品养殖企业为指导该企 y2(元) 业某种水产品的养殖和销售, 对历年市场行情和水产品养殖 情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价 y1 (元)与销售月份 x (月)满足关系式 y = ? 25 24

1 y2 = x 2 + bx + c 8

3 x + 36 ,而 8

其每千克成本 y2 (元)与销售月份 x (月)满足的函数关

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x(月) 第 2 题图

系如图所示. (1)试确定 b、c 的值; (2)求出这种水产品每千克的利润 y (元)与销售月份 x (月)之间的函数关系式; (3)“五·一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?

108、(2009 年新疆乌鲁木齐市)如图 9,在矩形 OABC 中,已知 A 、 C 两点的坐标分别

0) 2) 设点 P 是 ∠AOC 平分线上的一个动点 (不与点 O 重 为 A(4,、C (0, ,D 为 OA 的中点.

合). (1)试证明:无论点 P 运动到何处, PC 总与 PD 相等; y 试确定过 O、P、D 三点的 (2) 当点 P 运动到与点 B 的距离最小时, C (0, 2) 抛物线的解析式; (3)设点 E 是(2)中所确定抛物线的顶点,当点 P 运动到何处时, △PDE 的周长最小?求出此时点 P 的坐标和 △PDE 的周长; O ( 4 ) 设 点 N 是 矩 形 OABC 的 对 称 中 心 , 是 否 存 在 点 P , 使 ∠CPN = 90° ?若存在,请直接写出点 P 的坐标. 109、19.(2009 年佛山市)(1)请在坐标系中画出二次函数 年佛山市)

B P D 图9
A(4, 0)

x

y = ? x 2 + 2 x 的大致图象;
(2)在同一个坐标系中画出 y = ? x 2 + 2 x 的图象向上平移两个单位后的图象; (3)直接写出平移后的图象的解析式. 注:图中小正方形网格的边长为1. y

O

x

第 19 题图

110、(2009 年广东省)正方形 ABCD 边长为 4, M 、 N 分别是 BC 、 CD 上的两个动点, 当 M 点在 BC 上运动时,保持 AM 和 MN 垂直, (1)证明: Rt△ ABM ∽ Rt△MCN ; (2)设 BM = x ,梯形 ABCN 的面积为 y ,求 y 与 x 之间的函数关系式;当 M 点运动到 什么位置时,四边形 ABCN 面积最大,并求出最大面积; (3)当 M 点运动到什么位置时 Rt△ ABM ∽ Rt△ AMN ,求此时 x 的值. A D

N B M C

111、 (2009 年山西省)某批发市场批发甲、乙两种水果,根据以往经验和市场行情,预计 夏季某一段时间内,甲种水果的销售利润 y甲 (万元)与进货量 x (吨)近似满足函数关

系 y甲 = 0.3 x ;乙种水果的销售利润 y乙 (万元)与进货量 x (吨)近似满足函数关系

y乙 = ax 2 + bx (其中 a ≠ 0,a,b 为常数) ,且进货量 x 为 1 吨时,销售利润 y乙 为 1.4
万元;进货量 x 为 2 吨时,销售利润 y乙 为 2.6 万元. (1)求 y乙 (万元)与 x (吨)之间的函数关系式. (2)如果市场准备进甲、乙两种水果共 10 吨,设乙种水果的进货量为 t 吨,请你写出 这两种水果所获得的销售利润之和 W (万元)与 t (吨)之间的函数关系式.并求出 这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大,最大利润是多少?
2 112、(2009 年黄石市)已知关于 x 的函数 y = ax + x + 1 ( a 为常数)

(1)若函数的图象与 x 轴恰有一个交点,求 a 的值; (2)若函数的图象是抛物线,且顶点始终在 x 轴上方,求 a 的取值范围.

113.(2009 年黄石市)为了扩大内需,让惠于农民,丰富农民的业余生活,鼓励送彩电下 乡,国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴.规定每购买一台彩电,政府补贴若干元,经 调查某商场销售彩电台数 y (台)与补贴款额 x (元)之间大致满足如图①所示的一次函数 关系.随着补贴款额 x 的不断增大,销售量也不断增加,但每台彩电的收益 Z (元)会相 应降低且 Z 与 x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系. y(台) 1200 800 200 x(元) 0 400 x(元) 图① 图② (1)在政府未出台补贴措施前,该商场销售彩电的总收益额为多少元? 0 (2)在政府补贴政策实施后,分别求出该商场销售彩电台数 y 和每台家电的收益 Z 与政府 补贴款额 x 之间的函数关系式; (3)要使该商场销售彩电的总收益 w (元)最大,政府应将每台补贴款额 x 定为多少?并 求出总收益 w 的最大值. z(元) 200 160

113、(2009 年黄石市)正方形 ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中, A 在 x 轴正半轴 上, D 在 y 轴的负半轴上, AB 交 y 轴正半轴于 E,BC 交 x 轴负半轴于 F , OE = 1 ,抛

物线 y = ax + bx ? 4 过 A、D、F 三点.
2

(1)求抛物线的解析式;(3 分) 过 交 (2)Q 是抛物线上 D、F 间的一点, Q 点作平行于 x 轴的直线交边 AD 于 M , BC 所 在直线于 N ,若 S四边形AFQM =

3 S△ FQN ,则判断四边形 AFQM 的形状;(3 分) 2 (3)在射线 DB 上是否存在动点 P ,在射线 CB 上是否存在动点 H ,使得 AP ⊥ PH 且 AP = PH ,若存在,请给予严格证明,若不存在,请说明理由.(4 分)
y B F C O D 114、(2009 年云南省)如图,在平面直角坐标系中, O 是坐标原点,点 A、B 的坐标分别为
A(0 , 和 B (?2, ,连结 AB . 4) 0)

E A x

(1)现将 △ AOB 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°得到 △ AO1 B1 ,请画出 △ AO1 B1 ,并直 接写出点 B1 、 O1 的坐标(注:不要求证明); (2)求经过 B 、 A 、 O1 三点的抛物线对应的函数关系式,并画出抛物线的略图.

,且经过原点 O,与 x 轴的另一 115、 20 09 年 枣 庄 市 ) 如图,抛物线的顶点为 A(2,1) ( 个交点为 B.

(1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上求点 M,使△MOB 的面积是△AOB 面积的 3 倍; (3)连结 OA,AB,在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 N,使△OBN 与△OAB 相似? 若存在,求出 N 点的坐标;若不存在,说明理由. y O A B x

第 24 题图



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