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弹簧振子


振动的过程中, 例1、弹簧振子 振动的过程中,以下说法中 、 正确的是: 正确的是: ( BC ) A、振子加速度增大的过程中,其速度增大 、振子加速度增大的过程中, B、振子加速度增大的过程中,其速度减小 、振子加速度增大的过程中, C、振子加速度减小的过程中,其位移减小 、振子加速度减小的过程中, D、振子加速度减小的过程中,其位移增大 、振子加速度减小的过程中,

例2、关于简谐振动的以下几个说法中错误的是 、 ( BC ) A、质点从平衡位置起第1次到最大位移处所需时 、质点从平衡位置起第 次到最大位移处所需时 间为T/4 (T是周期) 是周期) 间为 是周期 B、加速度和速度方向总是跟位移方向相反 、 C、质点在T/4时间内走过的路程恒等于一个振幅 、质点在 时间内走过的路程恒等于一个振幅 的长度 D、回复力方向总是指向平衡位置 、

轴在A、 两点间做简 例3、如图,一物体沿 轴在 、B两点间做简 、如图,一物体沿x轴在 谐运动, 点为平衡位置 其振动频率为2Hz。 点为平衡位置, 谐运动,O点为平衡位置,其振动频率为 。 若从物体沿x轴正方向通过 点的时刻开始计时, 轴正方向通过O点的时刻开始计时 若从物体沿 轴正方向通过 点的时刻开始计时, 则至少经 0.375s s,物体具有沿 轴正方向的 ,物体具有沿x轴正方向的 最大加速度; 物体具有沿x轴 最大加速度;至少经 0.125s s物体具有沿 轴 物体具有沿 负方向的最大加速度; 负方向的最大加速度;至少经 0.25s s物体 物体 具有沿x轴负方向的最大速度 轴负方向的最大速度。 具有沿 轴负方向的最大速度。

A

O

B

x

例4、若单摆的摆长不变,摆球的质量 、若单摆的摆长不变, 增加为原来的4倍 增加为原来的 倍, 摆球经过平衡位置时 的速度减小为原来的1/2, 的速度减小为原来的 ,则单摆振动的 ( ) B A、频率不变,振幅不变 、频率不变, B、频率不变,振幅改变 、频率不变, C、频率改变,振幅改变 、频率改变, D、频率改变,振幅不变 、频率改变,

例 5、 两学生坐在停在湖中离岸 、 两学生坐在停在湖中离岸24m的小 的小 船上,一个学生观察到在18s内小船上下晃动 船上,一个学生观察到在 内小船上下晃动 12个来回 , 每晃动一次有一个水波的波峰经 个来回, 个来回 过小船。另一个学生观察到经过船的波峰要6s 过小船。另一个学生观察到经过船的波峰要 才能到达湖岸, 才能到达湖岸,那么水波的周期为 1.5s ,水 波的波长为 6m 。

例6、一单摆的摆长为l,振 、一单摆的摆长为 , 动过程中在距悬点O的正下 动过程中在距悬点 的正下 l 处钉一颗钉子, 方 2 处钉一颗钉子,问该单 摆的周期变为多大? 摆的周期变为多大?
2 l 答案: 答案:(1+ )π 2 g

例7、一个水平振动的弹簧振子,从平 、一个水平振动的弹簧振子, 衡位置开始计时, 第一次到达A点 衡位置开始计时,经0. 5s第一次到达 点, 第一次到达 又经0. 第二次到达 第二次到达A点 又经 2s第二次到达 点,则该振子的周 或 第三次到达A点还 期可能是 2.4s或0.8s ,第三次到达 点还 需时间可能是 2.2s或0.6s 。 或
C O A B

C

O

A B

例8、甲单摆的摆长是乙单摆摆 、 长的4倍 长的 倍,在同一地方让它们同时 做简谐运动,当甲摆摆动50次时 次时, 做简谐运动,当甲摆摆动 次时, 次 乙摆摆动次数是 100次 。
解:设乙摆摆动次数为n乙,据题意,50T甲= n乙T乙 据题意, 设乙摆摆动次数为

l 由单摆周期公式 T = 2π g


T∝ l

50 l甲 = n乙 l乙

得 n乙=100次 次

例9、证明竖直放置的弹簧振子 、 的振动是简谐振动
证明:设弹簧原长位置为 , 证明:设弹簧原长位置为O, 劲度系数为k, 劲度系数为 ,小球的质量 平衡位置为O’(距 为 为m,平衡位置为 距O为 平衡位置为 x0)。现取小球振动中的任 。 意位置P,设其距O’点为 点为x. 意位置 ,设其距 点为 原mg=kx0 在P点 F=k(x+x0)-mg=kx 点

x0 x

O O’ P

X与F反向 故F=-kx 是简谐振动 与 反向 其平衡位置是O’点 (其平衡位置是 点)

例10、 、 0 甲 乙 丙 丁 0 0 正最大 负最大 T/ 4 正最大 负最大 0 0 T/ 2 0 0 负最大 正最大 3 T/ 4 负最大 正最大 0 0 T 0 0 正最大 负最大

如果表给出的是做简谐振动的物体的位移x或速度 与时刻的对 如果表给出的是做简谐振动的物体的位移 或速度v与时刻的对 或速度 应关系, 是振动周期 则下列选项中正确的是: 是振动周期, 应关系,T是振动周期,则下列选项中正确的是: ( AD ) (A)若甲表示位移 ,则丙表示相应的速度 )若甲表示位移x,则丙表示相应的速度v (B)若乙表示位移 ,则丙表示相应的速度 )若乙表示位移x,则丙表示相应的速度v (C)若丙表示位移 ,则甲表示相应的速度 )若丙表示位移x,则甲表示相应的速度v (D)若丁表示位移 ,则甲表示相应的速度 )若丁表示位移x,则甲表示相应的速度v

年高考题) (96年高考题) 年高考题

例 11、 图中实线是一列简谐波在某一时刻 、 的波形图,虚线是0.2s后的波形图。这列波可 后的波形图。 的波形图,虚线是 后的波形图 能的传播速度是多大? 能的传播速度是多大?
Y/m

-3 –2 –1 0 1 2 3 4

X/m

答案: ( 答案:5(1+4n)m/s或5(3+4n)m/s ( n=0、1、2…) ) 或 ( ) 、 、

例 12 、 北 京 地 区 的 重 力 加 速 度 为 g1=9.801m/s2, 上 海 地 区 的 重 力 加 速 度 为 g2=9.795m/s2 。 一 只 在 北 京 走 时 准 确 的 摆 钟 它的摆可视为单摆)拿到上海去, (它的摆可视为单摆)拿到上海去,走时快了 还是慢了?一昼夜相差多少秒? 还是慢了?一昼夜相差多少秒?
1 由T ∝ g
设T1=1s
得 T2

= 0.9997T1 = 0.9997s

?t = ?T ? 86400 = 26.5s
答案:慢了。 答案:慢了。26.5s

例 13、如图所示 , 为一半径 、 如图所示, 为一半径R=45m的 的 圆周,在圆心O和圆周上一点 和圆周上一点A各有一个 圆周,在圆心 和圆周上一点 各有一个 声源,均发出波长为10m的声波,人在 的声波, 声源,均发出波长为 的声波 人在B 点听不到声音, 点听不到声音 , 如沿逆时针方向沿圆周 走去, 达到A以前 有几次听不到声音? 以前, 走去 , 达到 以前 , 有几次听不到声音 ?

答案: 次 答案:8次

A

O

B

例 14、 如图所示,两列简谐横波均 、 如图所示, 轴传播, 沿 x轴传播 , 传播速度的大小相等 , 其中 轴传播 传播速度的大小相等, 一列沿+x方向传播 图中实线所示) 方向传播( 一列沿 方向传播(图中实线所示),一 列沿-x方向传播( 图中虚线所示)。 这两 列沿 方向传播( 图中虚线所示) 方向传播 列波的频率相等, 振动方向均沿y轴 列波的频率相等 , 振动方向均沿 轴 , 则 图中x=1,2,3,4,5,6,7,8各点中振幅最大的是 图中 各点中振幅最大的是 x= 4,8 的点,振幅最小的是 x= 2,6 的点。 的点, 的点。
y v v

0 12 3 4 5 67 8 x

例 15、 已知悬挂在地面附近的 、 摆长为l的单摆的振动周期为 的单摆的振动周期为T, 摆长为 的单摆的振动周期为 ,地 球半径为R, 万有引力常量为G, 球半径为 , 万有引力常量为 , 求地球的平均密度。 求地球的平均密度。
l l l T = 2π = 2π = 2πR 2 g GM / R GM 4 3 M = ρ πR 3

3πl 答案: ρ = 2 GRT

例 16、 在光滑水平面上有一弹簧振子 , 弹簧的 、 在光滑水平面上有一弹簧振子, 劲度系数为K。 振子质量为M, 劲度系数为 。 振子质量为 , 振动的最大速度为 如图所示。 当振子在最大位移为A的时刻 的时刻, v0 , 如图所示 。 当振子在最大位移为 的时刻 , 把 质量为m的物体轻放其上 的物体轻放其上, 质量为 的物体轻放其上,则: ( 1) 要保持物体和振子一起振动 , 二者间摩擦因 ) 要保持物体和振子一起振动, 数至少为多少? 数至少为多少? ( 2) 一起振动时 , 二者过平衡位置的速度多大 ? ) 一起振动时, 二者过平衡位置的速度多大? 振幅又是多大? 振幅又是多大? m :(1) 解 :( ) kA = (M + m)a kA
(M + m)g mg? = ma 1 2 1 Mv0 = (M + m)v′2 (2)机械能守恒 )

?=

M

2

2

v′ =

M v0 M +m

振幅仍为A 振幅仍为

的甲、 例17、 如图所示,质量分别为 、M的甲、乙两 、 如图所示,质量分别为m 的甲 木块, 与一劲度系数为K的轻质弹簧的两端拴接 的轻质弹簧的两端拴接, 木块 , 与一劲度系数为 的轻质弹簧的两端拴接 , 乙在下,放在水平桌面上。系统静止时, 乙在下 , 放在水平桌面上 。 系统静止时 , 弹簧轴线 是竖直的。现用外力缓慢的竖直向上拉甲, 是竖直的 。 现用外力缓慢的竖直向上拉甲 , 直到乙 对桌面的压力刚好减小到零为止。此时撤去外力, 对桌面的压力刚好减小到零为止 。 此时撤去外力 , 此后甲在竖直方向上作简谐振动。运动过程中, 此后甲在竖直方向上作简谐振动 。 运动过程中 , 甲 的最大加速度多大?其振幅多大? 的最大加速度多大 ? 其振幅多大 ? 当甲经过平衡位 置时,乙对桌面的压力大小是多少? 置时,乙对桌面的压力大小是多少? m 甲 设甲的平衡位置为O? 其对应形变为 其对应形变为x 设甲的平衡位置为 ?,其对应形变为 0; 解:
甲 m 乙对桌面压力为零时,弹簧形变为x1; 乙对桌面压力为零时,弹簧形变为 x1 x0

(M + m)g A = x0 + x1 = M 乙 k O kx0 = mg O kA (M + m)g am = = ? m m

kx1 = Mg

乙 M

当甲经过平衡位置时, 当甲经过平衡位置时,乙对桌面的压力

N = (M + m)g



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