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【华师大二附中 范端喜】历年复旦、交大自主招生数学试题详解与应试指导-第1讲:近年来自主招生试卷解读、


第一讲

近年来自主招生数学试卷解读 集合与命题

授课教师: 范端喜 ————————————————————————————————————————————

第一部分 近年来自主招生数学试卷解读 一、 交大: 题型: 考试时间: 试题难度: 填空题 10 题,每题 5 分;解答题 5 道,每题 10 分; 90 分钟, 满分 100 分; 略高于高考,比竞赛一试稍简单; 各学校考试题型分析:

考试知识点分布:基本涵盖高中数学教材高考所有内容,如:集合、函数、不等式、数列 (包括极限) 、三角、复数、排列组合、向量、二项式定理、解析几何 和立体几何 复旦: 题型: 全考试时间: 试题难度: 试题类型全部为选择题(四选一) ; 总的考试时间为 3 小时(共 200 道选择题,总分 1000 分,其中数学部 分 30 题左右, ,每题 5 分) ; 基本相当于高考;

考试知识点分布:除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如:行列式、矩阵等; 考试重点: 同济: 题型: 考试时间: 试题难度: 填空题 8 题左右,分数大约 40 分,解答题约 5 题,每题大约 12 分; 90 分钟, 满分 100 分; 基本上相当于高考; 侧重于函数和方程问题 、不等式、数列及排列组合等

考试知识点分布:常规高考内容

二、

试题特点分析:

1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

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关键步骤提示:

f ? a ? ? ? x 4 ? 3x 2 ? 4 ? a ? ? x 4 ? x3 ? 2 x 2 ? ? ( x ? 2)( x ? 2)( x 2 ? 1)a ? x 2 ( x ? 2)( x ? 1)

2. 注重数学知识和其它科目的整合,考查学生应用知识解决问题的能力。

关键步骤提示:

d (u, w) ? ? ai , d (v, w) ? ? bi , d (u, v) ? ? ai ? bi
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

由绝对值不等式性质, ai ? bi ? ai ? bi

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三、

应试和准备策略

1. 注意知识点的全面 数学题目被猜中的可能性很小,一般知识点都是靠平时积累,因此,要求学生平时要 把基础知识打扎实。剩下的就是个人的现场发挥。 2. 注意适当补充一点超纲内容 如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题,如矩阵,行列式等 也不可忽视。 3. 适当做近几年的自主招生的真题 俗话说,知己知彼,百战百胜。同学们可适当地训练近几年自己所考的高校自主招生 的试题,熟悉一下题型和套路还是有益的。 4. 注重知识的延伸加深 复旦,交大,清华等全国重点院校自主招生试题比高考试题稍难,比数学竞赛试题又 稍简单。有些问题稍有一定的深度,这就要求考生平时注意知识点的延伸加深。 例如 2008 年复旦自主招生的第 88 题:

关键步骤提示:上式= x1

x3 x1

x1 x2

? x2

x2 x3

x1 x2

? x3

x2 x3

x3 x1

3 3 ? 3x1 x2 x3 ? ( x13 ? x2 ? x2 )

设ax3 ? bx 2 ? cx ? d ? 0的3个根为x1 , x2 , x3 , b ? ? x1 ? x2 ? x3 ? ? a ? c ? 则有 ? x1 x2 ? x1 x3 ? x2 x3 ? a ? d ? ? x1 x2 x3 ? ? a ? a 3 ? b3 ? c3 ? 3abc ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc )
此题若是知道三次方程的韦达定理,则容易解决。但平时同学们对二次方程的韦达定 理很熟悉,对三次方程的韦达定理则比较陌生。

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又比如,柯西不等式可以解决许多不等式问题,但由于目前上海高考不考,所以很多 高中生对此此不等式并不十分熟悉。但柯西不等式其实应用得非常广泛,我们将在不等式 一讲中将会介绍它。 总之,同学们若是注意一些知识点的延伸和加深,考试时必定会有一种居高临下的感 觉。

第二部分:集合与命题 一、 知识补充:

A? B ?C ? A ? B ? C ?? A? B ? A?C ? B ?C ?? A? B ?C

二、

真题精析:

关键步骤提示:
(a ? 2)(a ? 2) ? 3a (a ? 2) ? 0 1 4(a ? 2)(a ? ) ? 0 2

关键步骤提示:

? X ? X ? Y , 而X ? Y ? X ? X ?Y ? X ? X ? Y

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关键步骤提示:
1 ? Sin? ? Sin 2

?
2

? Cos 2

?

? 2Sin Cos 2 2 2

?

?

关键步骤提示:
? S1? R, ? 必存在C1 ? R, C1 ? S1 若C1 ? S2,则很明显; ? 同理, S2 ? R, 必存在C2 ? R, C2 ? S2, 若C2 ? S1 则很明显; ? 否则,令C ? C1 ? C2 , 即可( )

想一想,除了令C ? C1 ? C2 , 还可以怎样令?

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三、

仿真训练

仿真训练一 某校六(1)班有学生 54 人,每人在暑假里都参加体育训练队,其中参加足球队的有 25 人,参加排球队的有 22 人,参加游泳队的有 34 人,足球、排球都参加的有 12 人,足球、 游泳都参加的有 18 人,排球、游泳都参加的有 14 人,问:三项都参加的有多少人?

仿真训练二 已知集合M ? ? x 1 ? x ? 10, x ? N ?.对它的非空子集A, 将A中每个元素K 都乘以( ? 1 k , 再求和(如A ? ?1,3, 6? , ) 可求得和为( ? 1 ?1 ? ? 1 3 ? 3 ? ? 1 6 ? 6 ? 2)称为 ) ( ) ( ) 集合A的特殊和。求集合M的所有非空子集特殊和的总和。
关键步骤提示:

分析:本题所求的“特殊和”有如下特点: 奇数元素前面添上负号,偶数元素前面添上正号,再代数求和。
A 例如:对于A ? ?1,3, 6?, 则CU ? ?2, 4,5, 7,8,9,10? A 考虑CU 的“特殊和”为2 ? 4 ? 5 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 A A与CU 的“特殊和”的和

( ? 8 ? 6 ? 4 ? 2) 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9) 5 10 ? ( ? 同理,对其它非空集合也有这样特点,将它 们两两配对(空集与本身集合除外),值为 210 ? 2 ? 5 ? 29 ? 1 ? 5 ( ) 2

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