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1一弹簧振子


习题课
一、选择题
1.一弹簧振子,当它水平放置时,可以做简谐振动,若把 它竖直悬挂或放置在光滑斜面上,试判断下面哪一种情况是 正确的 [ C ] A:竖直放置可以作简谐振动,放置在斜面上不能作简谐振 动; B:竖直放置不能作简谐振动,放置在斜面上可以作简谐振 动; C:两种情况都可以作简谐振动; D:两种情况都不能作简谐振动。

2.一个弹簧振子振幅为 2 ?10?2 m ,当 t ? 0 时 振子在 x ? 1.0 ?10?2 m 处,且向正方向运动, 则振子的振动方程是:[ A ] ? A: ?2 x ? 2 ?10 cos(?t ? )m 3 y B: x ? 2 ?10?2 cos(?t ? ? )m

6

C: x ? 2 ?10 cos(?t ?
?2

?
3
6

)m

x

D: x ? 2 ?10?2 cos(?t ? ? )m

3.用余弦函数描述一简谐振动,若其速度与时 间(v—t)关系曲线如图示,则振动的初相位 为:[ A ] v(m/s) ? ? ? A B: C:2 3
6

D: ; E: 6
3

2?

5?

?

vm 2

t(s)

解:振动速度为: v ? ?vmax sin(?t ? ?0 )

t ? 0, sin ? 0 ?

1 2

所以 O

x

5? ? ?0 ? 或 ?0 ? 6 6

4.一个弹簧振子简谐振动的固有周期是为T1,一 个单摆简谐振动的固有周期为T2,在地球上有 T1=T2 将它们放在月球上,它们的周期关系是: [ B ] A:T1=T2 B:T1<T2 C:T1>T2 D: 无法确定
5.下列运动不是简谐运动的是 [ A ]

A:完全弹性球在硬地面上的跳动; B:匀速圆周运动的质点在x轴上的投影点的运动; C:如图所示,一球沿半径很大的光滑凹球面滚动(设球 所经过的弧线很短); D:竖直悬挂的弹簧上挂一重物,把重物从静止位置拉 下一段距离(在弹性限度内),然后放手任其运动。

6.弹簧振子由轻弹簧k和质量为m的物体构成,将 振子按如图三种情况放置,如果物体做无阻尼的 简谐振动,则它们振动周期的关系为: [ B ]
A: C:

T1 ? T2 ? T3
T1 ? T2 ? T3

B:

T1 ? T2 ? T3

D: 不能确定

二、填空题
1.有一放置在水平面上的弹簧振子。振幅 A = 2.0×10-2m 周期 T = 0.50s , 根据所给初始条件,作出 简谐振动的矢量图 , 并写出振动方程式或初位相。
(1) t=0时物体在正方向端点,其振动方程为

3 2
4

5 1 6
x

x ? 2.0 ?10 cos 4? t
?2

(2)t=0时物体在负方向端点,其初位相为

?

(3)t=0时物体在平衡位置,向负方向运动, 其初位相为 ? / 2 (4)物体在平衡位置,向正方向运动,其初位相为 (5)物体在 x = 1.0×10-2m 处向负方向运动, 其初位相为 ? / 3 (6)物体在 x = 1.0×10-2m 处向正方向运动, 其初位相为

3? / 2

5? / 3

2.一竖直悬挂的弹簧振子,平衡时弹簧的伸长量为 x0 ,此振子自由振动的周期为 x0 2?
解: mg ? kx0 T ? 2? m ? 2? x0 k g

g

3.有一单摆,摆长为 1 m ,最大摆角 5°,则摆角的角频率

? ? 3.13s

-1



周期 T = 2.00 s。设开始时在正向摆角最大,此单摆振 ? 动方程 ? ? cos(3.13t ) (rad)。当摆角为 3°时,

36

cos(?t ? ? ) ?

3 5

d? 此时,摆的角速度 dt

= -0.219 rad .s-1。摆球线速度?V=??- 0.219??m.s-1。

4.简谐振动的总能量是E,当位移是振幅 3 1 Ek E 的一半时, ? 当 x ? ? ?
P

Ek ? EP

E

4

E

4

A

2 时, 2

解: ? 1 Kx 2 ? 1 K ( A ) 2 ? 1 ? 1 KA2 ? E 3 EP 2 2 2 4 2 4 EK ? E ? EP ? 4 E 1

EP ? EK ?
2 x?? A 2

2

E

1 2 1 1 2 kx ? ? kA 2 2 2

5.物体作简谐振动,振动方程为 x

? A cos(?t ? ? / 4)

2 A? 2 ,t = T/ 4(T为周期)时刻,物体的加速度为: 2

三、计算题
1.一立方形木块浮于静水中,其浸入部分高度 为 a 。今用手指沿坚直方向将其慢慢压下,使 其浸入部分的高度为 b ,然后放手让其运动试 证明,若不计水对木块的粘滞阻力,木块运动 是简谐振动并求出周期及振幅。 (提示:建立坐标系如图,写出木块对平衡位置 位移为 x 时的动力学方程 。)
证明,选如图坐标系:,静止时

a

o

b

mg ? ? gaS ? ? ? ?(1)
1题图

x

任意位置时的动力学方程为: 2

dx mg ? ? gxS ? m 2 dt

------(2)

dx 2 将(1)代入(2)得 ? ? gS ( x ? a) ? m dt 2 2 2

令y

? x?a

,则 d x

上式化为: 令?
2

d y ? 2 2 dt dt
2

a

o
b

dy ? ? gSy ? m 2 dt ? gS dy 2 2 ? ?? y ? 0 2 m dt

1题图

x

上式是简谐振动的微分方程,它的通解为: y ? A cos(?t ? ?0 ) 所以木块的运动是简谐振动.

振动周期:

m a T? ? 2? ? 2? ? ? gS g

2?

t ? 0 时, x ? b 0
v0 ? 0
振幅: A ?

y0 ? b ? a
2 y0 ?

?

2 v0 2

?b?a

2.两个谐振子在同一直线上做同频率、同振幅振动。第 一个谐振子振动表达式为 x ? A cos(?t ? ? )
1

当第一个振子从正方向回到平衡位置时,第二个振子恰 在正方向位移的端点。求:两振子振动相差,并写出第 二个振动的方程式。

? 解:?两振子振动相差可由旋转矢量得到: ? ? 2
第二个振子比第一个振子落后了 所以第二个振动的方程式为:

?

?

A1 x A2

2

x2 ? A cos(?t ? ? ? ) 2

?

3.如左图示,质量为10g 的子弹,以500ms-1的速度射入木块中, 使弹簧压缩从而作简谐振动,若木块质量为4.99kg ,弹簧劲度 系数为8×10 3 Nm-1,若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点, 向左为 x 轴正方向,写出简谐振动方程。 解:第一阶段是碰撞过程, 此过程进行得很快,认为此阶段弹簧 还没有变形,则此阶段动量守恒:

mv ? (m ? m?)v? ? ? ? ? ? ?(1)
第二阶段是弹簧的振动阶段,而且初始条件为:

m 10 ?10 v0 ? v? ? v? ? 500 ? 1m ? s-1 m ? m? 5 x0 ? 0

?3

v

k M

m

所以有:1 kA2 ? 1 (m ? m?)v?2
2 2
振子的角频率为 ? ?

m ? m? A ? 2.5 ?10?2 m 得: ? v k

k ? 40rad ? s-1 m ? m?
A x

在t=0时,振子向右(负方向)运动,所以:

?0 ?
振子的方程:

?
2
?2

x ? 2.5 ? 10 cos(40t ?

?
2

)

4.如下图示:弹簧振子(k、M)光滑平面上作谐 动,振幅为 A。一质量为 m 的粘土,从高处自由 落下粘在 M 上,(1)则振子的振动周期变为多 少?。(2)若粘土是在 M 通过平衡位置时落在 其上的,则其后振动振幅与原振幅 A 比是多少? (3)若粘土是在 M 通过最大位移时落在其上的, 则其后振动振幅与原振幅 A之比为多少?:
M ?m 解: (1)周期变为: ? 2? T k (2)若黏土在M通过平衡位置时落在其上:
落在其上的过程看成是碰撞过程,在水平 方向无外力,动量守恒:设碰前速率是v , 碰后速率是v’
h k M

则有: Mv ? ( M ? m)v?
所以初始条件为:

? x0 ? 0 ? ? M ?v0 ? v? ? M ? m v ?
2 0

A? x ?

v?2

?2

M 2v 2 M ?m ?? A ? ? ? 2 2 ? ( M ? m) k

v? 2

M 2v 2 1 ? M ?m k

原来的振幅为: A ? v M

k

所以:

A? ? A

M 2v 2 1 k ? ? 2 M ? m k Mv

M M ?m

(3)若粘土是在 M 通过最大位移时落在其 上的,落在其上的过程看成是碰撞过程, 在水平方向无外力,动量守恒:设碰前速 率是0,碰后速率也是0,
所以初始条件为:

? x0 ? A ? ?v0 ? 0
A?? ? 1:1 A

2 ?? ? x0 ? A

v?2

?

2

?A

5.已知两同方向,同频率的简谐振动的方程 分别为 x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π)
x2 ? 0.06cos(10t ? 0.25? )(SI)
求: (1) 合振动的初相及振幅.

(2) 若有另一同方向、同频率的简谐振动 x 3 = 0.07cos (10 t +φ3)则当 φ3为多少时 x 1 + x 3 的振幅最大?又φ3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小?
解:(1) ?? ? 0.25? ? 0.75? ? 0.5? 由: A ? 得:
2 A12 ? A2 ? 2 A1 A2 cos ??

A ? 0.05 ? 0.06 ? 0.078
2 2

A1 sin ?1 ? A2 sin ?2 ?0 ? arctan ? arctan(11) A1 cos ?1 ? A2 cos ?2

(2)当 ⊿φ=2kπ时,合振幅最大;当 ⊿φ=(2k+1)π时,合振幅最小,所以



?3 ? 0.75?
?3 ? 1.25?

时, 1

x ? x3 x ? x3

振幅最大,

时, 1

振幅最小。

6.当重力加速度 g 改变dg 时, 单摆周期 T 的变 化 dT是多少 ?找出dT/T与dg/ g的关系式。一只 摆钟在 g = 9.80m .s-1 处走时准确 , 移到另一地点 , 每天快10 s 。问该地重力加速度是多少 ?
解:周期: T ? 2? 两边全微分

L g

T g ? 4? L
2 2

2 gTdT ? T 2dg ? 0

2

dT T

??

dg g

每天快10 s,也就是dT=-10s,代入上式得:

2

?10 24 ? 3600

??

dg 9.8

,dg ? 0.002 ? g

? 9.802m ? s

-1



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