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同济第五版线性代数2-1


一、矩阵概念的引入
? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1 n x n ? b1 ?a x ? a x ? ?? a x ? b 22 2 2n n 2 1. 线性方程组 ? 21 1 ? ? ???????????? ?a n1 x1 ? a n 2 x 2 ? ? ? a nn x n ? bn ?
的解取决于

系数

aij ?i , j ? 1,2,?, n?,

常数项 bi ?i ? 1,2 ,? , n?

线性方程组的系数与常数项按原位置可排为

? a11 ? ? a 21 ?? ? ?a ? n1

2. 某航空公司在A,B,C,D四 城市之间开辟了若干航线 , 如图所示表示了四城市间的 航班图,如果从A到B有航班, 则用带箭头的线连接 A 与B.

b1 ? ? a 22 ? a 2 n b2 ? 对线性方程组的 ? 研究可转化为对 ? ? ? ? ? 这张表的研究. a n 2 ? a nn bn ? ? B a12 ? a1 n
A
C

D

四城市间的航班图情况常用表格来表示: 到站 B D C A

发站

A B C D
表示有航班. 改成1,空白地方填上

其中

为了便于计算,把表中的 0,就得到一个数表:

A A B C D
0 1
1 1

B

C

D

1 1

0 0 1 0

0 0 1

0 0

0

这个数表反映了四城市间交通联接情况.

二、矩阵的定义
由 m ? n 个数 aij ?i ? 1,2,?, m; j ? 1,2,?, n? 排成的 m行 n 列的数表
a11 a21 ? a12 a22 ? ? a1n ? a2 n ?

am 1 am 2 ? amn
称为 m ? n矩阵.简称 m? n 矩阵. 记作

主对角线 ? a11

? ? a 21 A?? ? ? ?a 副对角线 ? m 1

a12 a 22 ? am1

? a1 n ? ? ? a2n ? ? ?? ? ? a mn ? ?

矩阵A的 ?m , n?元

简记为

A ? Am?n ? ?aij ?m?n ? ?aij ?.

这m ? n个数称为A的元素,简称为元.

元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.

例如

? 1 0 3 5? ? ? 是一个 2 ? 4 实矩阵, ? ? 9 6 4 3?
? 1? ? ? ? 2? ? 4? ? ?

? 13 6 2i ? ? ? 是一个 3? 3 复矩阵, ? 2 2 2? ? 2 2 2? ? ?

?2 3 5 9 ?
是一个 1? 4 矩阵,

?4 ?

是一个 3 ? 1 矩阵,

是一个 1? 1 矩阵.

几种特殊矩阵 (1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ,称为 n 阶 方阵.也可记作 An .

例如

? 13 6 2i ? ? ? ? 2 2 2? ? 2 2 2? ? ?

是一个3 阶方阵.

(2)只有一行的矩阵 A ? ?a1 , a2 ,?, an ?,
称为行矩阵(或行向量).

只有一列的矩阵

? a1 ? ? ? ? a2 ? B ? ? ? , 称为列矩阵(或列向量). ? ? ? ?a ? ? n ? 不全为0
? ?1 0 ? 形如 ? 0 ? 2 (3) ?? ? ? O ?0 0 ? ? 0? O ? ? 0 ? 的方阵,称为对角 ? ? ? 矩阵(或对角阵). ? ? ?n ? ?

记作

A ? diag ??1 , ?2 ,?, ?n ?.

m (4)元素全为零的矩阵称为零矩阵, ? n 零 矩阵记作 om?n 或 o .
注意 例如

不同阶数的零矩阵是不相等的.

?0 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

0 0 0? ? 0 0 0? ? ?0 0 0 0 ?. 0 0 0? ? 0 0 0? ?

(5)方阵

?1 0 ? ?0 1 E ? En ? ? ? ? ? O ?0 0

0? O ? ? 0? ? ?? ? ? 1? ?

全为1

称为单位矩阵(或单位阵). 同型矩阵与矩阵相等的概念

1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 型矩阵.

? 1 2 ? ? 14 3 ? ? ? ? ? 例如 ? 5 6 ?与? 8 4 ? 为同型矩阵. ? 3 7? ? 3 9? ? ? ? ?
2.两个矩阵 A ? ?aij ?与B?bij ? 为同型矩阵,并且 对应元素相等,即

aij ? bij ?i ? 1,2,?, m; j ? 1,2,?, n?,
则称矩阵 A与B相等,记作 A ? B.

例1 n个变量x1 , x2 ,?, xn与m个变量y1 , y2 ,?, ym之 间的关系式

? y1 ? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn , ? y ? a x ? a x ? ?? a x , ? 2 21 1 22 2 2n n ? ????????? ? ? ym ? am 1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn . ?

表示一个从变量x1 , x2 ,?, xn 到变量 y1 , y2 ,?, ym的
线性变换.

其中 aij为常数.

? y1 ? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn , ? y ? a x ? a x ? ?? a x , ? 2 21 1 22 2 2n n ? ????????? ? ? ym ? am 1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn . ? ??

? a11 ? ? a 21 A?? ? ? ?a ? m1

a12 a 22 ? am1

? a1 n ? ? ? a 2 n ? 系数矩阵 ? ?? ? ? a mn ? ?

线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.

? y1 ? x1 , ?y ? x , ? 2 2 若线性变换为 ? 称之为恒等变换. ? ??? ? yn ? x n ? ? y1 ? x1 , ?1 0 ? 0? ? ? ?y ? x , ? 2 2 对应 ? 0 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ?? 单位阵. ? ??? ? ?0 0 ? 1? ? ? yn ? x n ? ? ?

线性变换

? x1 ? cos ?x ? sin?y , ? ? y1 ? sin?x ? cos ?y .

对应

? cos ? ? ? sin?

? sin? ? ? cos ? ?

Y

P1 ? x1 , y1 ?

这是一个以原点为中心 旋转 ? 角的旋转变换.

?
O

?

P ? x, y ?
X

例2



? 1 2 3? A?? ?, ? 3 1 2?
已知 A ? B, 求 x , y, z .

? A ? B,

?1 B?? ?y

x 3? ?, 1 z?

? x ? 2, y ? 3, z ? 2.

三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表

? a11 ? ? a 21 A?? ? ? ?a ? m1

a12 a 22 ? am1

? a1 n ? ? ? a2n ? ? ?? ? ? a mn ? ?

? ? 行矩阵与列矩阵; ? 单位矩阵; ???1 ?? (2) 特殊矩阵 ? ? ?00 对角矩阵; ? ? ? ? ? ?? ? ?00 ? 零矩阵. ?? ?
方阵
1

?m ? n ?;

? a1 ? ? ? ?,a2 ? a ?, A ? ?a1 ,? 2 ?, , n B a? ? 0 ? ?0 ? ?? 0 ? 0? ? a??? ?1 ? ?0 ??? 0n 2 . ?? ? ? ? ? ? ?? 0 ? ? n?? 1 ?? 0

思考题
矩阵与行列式的有何区别?

思考题解答
矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个 算式,一个数字行列式经过计算可求得其值,而 矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同.



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