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新人教版七年级下第5章相交线与平行线复习课件


第5章相交线与平行线

知识结构
两条

邻补角、对顶角
垂线及其性质

对顶角相等

直线

相 交 线

相交 两条

点到直线的距离

直线
被第 三条 直线 判定 性质 同位角、内错角、同旁内角

平 行 线

所截 平行公理 平移

相交线
? 1.平面内两条直线的位置关系有: 相交、平行 _______________.

相交线
? 1.平面内两条直线的位置关系有: 相交、平行 _______________. ? 2.“同一平面内两条直线的位置关系有相交、 垂直平行三种.”这句话对吗?为什么? ? 3.相交: ? 当两条直线有公共点时,我们就说这两条 直线相交. ? 4.平行: ? 同一平面内,不相交的两条直线互相平行.

两条直线相交
? 如图,直线AB与CD相交, 则∠1与∠2互为 邻补角 ;∠1与∠3 __________ 对顶角 互为__________.

1.邻补角: 有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角, 叫做互为邻补角. 2.对顶角: 一个角的两边分别为另一个角两边的反向延长线, 这样的两个角叫做对顶角. 3.对顶角的性质: 对顶角相等.

练一练
? 直线AB、CD、EF相交于点O,若 145° , ? ∠AOC=35 ° ,则 ∠AOD= ? ∠BOD= 35° .
E D

A O C F

B

例1.直线AB与CD相交于O,?AOC : ?AOD ? 2 : 3 求?BOD的度数。
D A O B C

解.设?AOC ? 2 X 0,则?AOD=3X 0 根据邻补角的定义可得方程: 2X+3X=180 解得X=36
0 0 0

??AOC ? 2 X ? 72

在解 0 答 : ? BOD 的度数为 72 决与角的计算有关 的问题时,经常用 到代数方法。

??BOD ? ?AOC ? 720

? 1.垂线: ? 两条直线相交所成四个角中,如果有一个 角是直角,我们就说这两条直线互相垂直, 其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它 们的交点叫做垂足. ? 2.垂线的性质: ? 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. ? 3.垂线段:垂线段最短.

垂线、垂线段

垂线、垂线段
? 4.垂线段的性质: ? 过直线外一点,作已知直线的垂线,这点 和垂足之间的线段叫做垂线段. ? 直线外一点与直线上所有各点的连线中, 垂线段最短。 ? 5.点到直线的距离: ? 直线外一点到这条直线的垂线段的长度.叫 做这点到这条直线的距离。

如图:要把水渠中的水引到水池 C中,在渠岸的什么地方开沟,水沟 的长度才能最短? 请画出图来,并说明理由。
理由:垂线段最短

拓展应用

C

练一练
? 已知P是直线l外一点,A、B、C是直线l上 一点,且PA=5,PB=3,PC=2,那么点P 到直线l的距离为( C )

? ? ? ?

A .等于2 B.大于2 C.小于或等于2 D.小于2

练一练
图中能表示点到直线的距离的线段有( D ) ? A 2条 ? B 3条 ? C 4条 ? D 5条

练一练
? 分别过点A、B、C画对边BC、 AC、AB的 垂线,垂足分别为D、E、F.
A F B

C D

E

三线八角
? 如图,图中的同位角有:
∠1与∠5, ∠2与∠6, ∠3与∠7, ∠4与∠8

? 内错角有:
∠3与∠5, ∠4与∠6

? 同旁内角有:
∠3与∠6, ∠4与∠5

AD 和_____ BC 被_____ AC ? 如图, ∠1与∠2是_____ 内错 角? 所截形成的______ AB 和_____ CD 被_____ AC 所截形 ? ∠3与∠4是_____ 内错 角? 成的______

练一练

练一练
AD 和_____ BC 被_____ CD ? 如图, ∠1与∠2是_____ 同旁内 角? 所截形成的______ CD 被_____ AB 和_____ BE 所截形 ? ∠3与∠4是_____ 同位 角? 成的______

平行线
? 1.平行公理: ? 经过直线外一点,有且只有一条直线与这 条直线平行. ? 2.平行公理的推论: ? 如果两条直线都与第三条直线平行,那么 这两条直线也互相平行. b∥ c ? 即:如果b∥a, c∥a,那么_______.

平 条件 行 线 的 两直线平行 性 质 平 行 线 的 判 定 条件
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补

结论
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补

结论

两直线平行

间夹 的在 距两 离平 。行 线 间 的 垂 线 段 的 长 度 叫 做 两 平 行 线 ,

平行线的判定应用练习:
如图: 填空,并注明理由。 F (1)、∵ ∠1= ∠2 (已知) 内错角相等。两 ∴ —— AB ∥—— ED ( ) 直线平行, ∵ ∠3= ∠4 (已知) 3

A
1 4

B 6 C

5
E

2

D


∵ ∴

AF ∥—— BE —— ( 同位角相等,两直线平行。 )

∠5= ∠6 (已知)
BC EF —— ∥—— ( ) 内错角相等,两直线平行。

∵ ∠5+ ∠AFE=180 (已知)
AF ∥—— BE (同旁内角互补,两直线平行。) ∴ ——

∵ AB ∥FC,

ED ∥FC (已知)

AB ED ∴ —— ∥—— ( 平行于同直线的两条直线互相平行。 )

例2. 已知∠DAC= ∠ACB, ∠D+∠DFE=1800,求证 :EF//BC
D F C

证明: ∵ ∠DAC= ∠ACB (已知) ∴ AD// BC (内错角相等,两直线平行) ∵ ∠D+∠DFE=1800(已知) A ∴ AD// EF (同旁内角互补,两直线平行) ∴ EF// BC (平行于同一条直线的两条直线互相平行)

B

E

例1. 如图 已知:∠1+∠2=180°, 求证:AB∥CD。
证明:由:∠1+∠2=180°(已知), ∠1=∠3(对顶角相等). 1 3 ∠2=∠4(对顶角相等) 4 根据:等量代换 2 得:∠3+∠4=180°. 根据:同旁内角互补,两直线平行 得:AB//CD .

例2. 如图,已知:AC∥DE, ∠1=∠2,试证明AB∥CD。
证明: ∵由AC∥DE (已知) A ∴ ∠ACD= ∠2 1 (两直线平行,内错角相等) B ∵ ∠1=∠2(已知) ∴ ∠1=∠ACD(等量代换) ∴AB ∥ CD
(内错角相等,两直线平行)
D 2 E

C

例3.已知 EF⊥AB,CD⊥AB,∠EFB=∠GDC, 求证:∠AGD=∠ACB。
证明: ∵ EF⊥AB,CD⊥AB (已知) ∴ AD∥BC (垂直于同一条直线的两条直线互相平行) ∴ ∠EFB= ∠DCB D (两直线平行,同位角相等) E ∵ ∠EFB=∠GDC (已知) B ∴ ∠DCB=∠GDC (等量代换) ∴ DG∥BC (内错角相等,两直线平行) ∴ ∠AGD=∠ACB (两直线平行,同位角相等)

A

G
F

C

练一练
? 如图,已知直线a∥b,∠1=54°,那么∠2, ∠3,∠4各是多少度?
解:∵ ∠1=54° ∴ ∠ 2=∠1=54°(对顶角相等) ∵ a∥b ∴ ∠ 4=∠1=54°(两直线平行, 同位角相等) ∠ 3=180°-∠2 =180° - 54°=126°(两直 线平行,同旁内角互补)

命题 、定理
? ? ? ? 1.命题: 判断一件事情的语句,叫做命题. 2.题设、结论: 将命题写成“如果……那么……”的形式, “如果”后面的是题设,“那么”后面的 是结论.

命题 、定理
3.真命题、假命题:
? 若题设成立,则结论也一定成立的命题,是真命题.
? 若题设成立,则结论不一定成立的命题,是假命题.

? 4.定理: ? 有些命题的正确性是经过推理证实的,这样得 到的真命题叫做定理.

例1. 判断下列语句,是不是命题,如果是命题,是真命题, 还是假命题? (1)画线段AB=2cm (2)直角都相等; (3)两条直线相交,有几个交点? (4)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角。 (5)相等的角都是直角; 分析: 因为(1)、(3)不是对某一件事作出判断的句子,所以(1)、 (3)不是命题。 解. (1)、(3)不是命题; (2)、(4)、(5)是命题; (2)、(4)都是真

命,(5)是假命题。

练习
1、下列命题是真命题的有( C、E、G ) A、相等的角是对顶角 B、不是对顶角的角不相等 C、对顶角必相等 D、有公共顶点的角是对顶角 E 、邻补角的和一定是180度 F、互补的两个角一定是邻补角 G、两条直线相交,只要其中一个角的大小确 定了,那么另外三个角的大小就确定了

练一练
说出下列命题的题设与结论:

(1)题设:两个角是同一个角的补角; (1)同角的补角相等; 结论:这两个角相等. (2)题设:两个角相等; (2)等角的余角相等;

结论:它们的余角也相等.

(3)题设:两个角互补; (3)互补的角是邻补角;

结论:它们是邻补角.

(4)对顶角相等;

(4)题设:两个角是对顶角; 结论:这两个角相等.

探究创新:
如图给出下列论断: (1)AB//CD (2)AD//BC (3)∠A=∠C
以上,其中两个作为题设,另一个作为结论,用 “如果……, 那么……”的形式,写出一个你认为正确的命题。

A

D 分析: 不妨选择(1)与(2)作条件,由平
行性质 “两直线平行,同旁内角互补”
可得∠A=∠C,故满足要求。由(1)与 (3)也能得出(2)成立,由(2)与(3)也 能得出(1)成立。

B

C

解: 如果在四边形ABCD中,AB//DC、 AD//BC,那么∠A=∠C。

平移
? 1.把一个图形整体沿某一直线方向移动,会 得到一个新的图形,新图形与原图形的形 状和大小完全相同. ? 2.新图形中的每一点,都是由原图形中的某 一点移动后得到的,这两个点是对应点.连 接各组对应点的线段平行且相等. ? 3.图形的这种移动,叫做平移变换,简称平 移.

平移的基本性质:
①对应线段平行(或在同一直线上)且相等; ②对应角相等; ③对应点的连线平行(或在同一直线上)且相等.

例1. 在以下生活现象中,不是平移现象的是
A. 站在运动着的电梯上的人

B. 左右推动的推拉窗扇
C. 小李荡秋千运动 D. 的躺在火车上睡觉的旅客 分析: A、B、D属平移,在一个位置取两点连成一条线 ,在另一个位置再观察这条线段,发现是平行的,而C

同样取两点连成一条线段,运动到另一位置时,可能已
不平行

解: 选C

2.下列生活中的物体的运动情况可以看成

平移的是(

)

(1)摆动的钟摆

(2)在笔直的公路上行驶的汽车
(3)随风摆动的旗帜

(4)摇动的大绳
(5)汽车玻璃上雨刷的运动 (6)从楼梯自由落下的球(球不旋转)

例2. 如图所示,△ABC平移到△A′B′C′的位置,则点A的

A′ ,点B的对应点是______ B′ ,点C的对应点是____ C′ 对应点是______

A'B ' 。线段AB的对应线段是___________ ,线段BC的对应线段是
B ' C ' ,线段AC的对应线段是___________ A ' C ' 。∠BAC的对应 _________

B ' A ' C ' ,∠ABC的对应角是____________ ?A ' B ' C ' ,∠ACB的 角是? __________

?A ' C ' B ' 。△ABC的平移方向是________________ 沿着射线AA′ 对应角是___________
( 或BB′,或CC′)的方向 ___________________________ ,平移距离是_______________ 线段AA′的长 (_____________________________ 或线段BB′的长或线段CC′的长 。

A′ B′ C C′

A B

知识应用:
? “过一点有且只有一条直线与已知直线平 行”这句话对吗?为什么?

P l
P l

过直线外一点……

知识应用:
? ? ? ? ? 在同一平面内,两条直线的位置关系是( C ) A.相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交、平行或垂直

知识应用:
? (1)图1中有几对对顶角? 6对 ? (2)若n条直线交于一点,共有 n ? n ?1? 对对顶角? ________

l m n
O
图1

l3 l4 l2
l1

l5 ln

知识应用:
? 1. 如图,∵∠D=∠DCF(已知) BC ( 内错角相等,两直线平行 AD ∴_____//___ ) ? 2. 如图,∵∠D+∠BAD=180°(已知) AB DC ∴____//_ _( 同旁内角互补,两直线平行 )

知识应用:
? 能由△AOB平移而得的图形是哪个?
答:△OFC,△OCD A B O C D F E

知识应用:
? ? ? ? 下列说法正确的有( B ) ①对顶角相等; ②相等的角是对顶角; ③若两个角不相等,则这两个角一定不是 对顶角; ? ④若两个角不是对顶角,则这两个角不相 等. ? A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

知识应用:
? 如图,不能判别AB∥CD的条件是( B ) ? A. ∠B+ ∠BCD=180° B. ∠1= ∠2
AD∥BC

? C. ∠3= ∠4
A 3 1 2 4 5 C

D. ∠B= ∠5
D

B

E

知识应用:
? 直线AB、CD相交于点O,OE是射线 , ∠1= 32° ,∠2=58° ,则OE与AB的位 垂直 置关系是_________. E
∵∠AOE= 180°-∠1-∠2= 90° (平角定义) ∴OE⊥AB(垂直定义)

D
2

A

1

O

B

C

知识应用:
? 如图,∠B=70°,∠BEF=70° , ∠DCE=140°, CD∥AB,求∠BEC的度 数 解:∵∠B=∠BEF=70°
A B C E F D ∴AB∥EF 又∵CD∥AB ∴CD∥EF ∵∠DCE=140° ∴∠CEF=40° ∴∠BEC=∠BEF∠CEF=70°-40°=30°

知识应用:
直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD, OF平分∠BOC ,∠2 :∠1= 4:1,求 解:设∠1=x ∠AOC的度数.

A C

2
O

∵∠2 :∠1= 4:1 D ∴∠2 =4x ∵OE平分∠BOD E ∴∠DOE=∠1=x 1 B ∠DOB=2∠1=2x 由∠2+∠DOE+∠1=180° ∴4x+x+x=180° F x=30° ∴∠AOC=∠DOB=60°

知识应用:
? 直线AB、CD相交于点O,OM⊥AB. ? (1)若∠1= ∠2,求∠NOD的度数; ? (2)若∠BOC=4∠1 ,求∠AOC、∠MOD 解:(2 1=x 的度数.M 1)设 )∵∠ OM ⊥AB
C 1 A N D 2

O

B

∴∠BOC=4 ∠ 1=4x MOB=∠ MOA=90 ° ∴∠ ∠ BOC-对顶角相等 ∠1=3x ∵∠MOB= BOC=∠ AOD( ) 又 ∵∠ ∠MOA=90 ° ∴∠ 1+MOB= ∠MOB= ∠2+∠NOD ∴ °, 又3x=90 ∵∠1= ∠2x=30° ∴∠AOC= ∠1=60 NOD=∠MOAMOB=90 ° ° ∵∠BOD=∠AOC=60°, ∠MOB=90° ∴∠MOD=∠BOD+∠MOB

知识应用:
? 如图,AB∥CD,EF分别交AB、CD于M、N, ∠EMB=50°,MG平分∠BMF,MG交CD于 G,求∠1的度数.
E A M

C F N

1 G

解:∵∠EMB=50° B ∴∠BMF=180°∠EMB=130° ∵MG平分∠BMF D ∴∠BMG= 1/2∠BMF=65° ∴∠1=∠BMG=65°

知识应用:
? 如图,已知DE、BF分别平分∠ADC 和 ∠ABC,∠1 =∠2, ∠ADC= ∠ABC . ? 试说明AB∥CD.
D
3 1 A E 2 B F

解:∵DE、BF分别平分∠ADC 和 C ∠ABC ∴∠3=1/2∠ADC,∠2=1/2∠ABC 又∵∠ADC= ∠ABC ∴∠3=∠2 ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴AB∥CD (内错角相等,两直线平行)

知识应用:
? 如图,在长方形ABCD中,∠ADB=20°, 现将这一长方形纸片沿AF折叠,若使AB’ ∥BD,则折痕AF与AB的夹角∠BAF应为 多少度?
A B' D
解:长方形ABCD中,∠BAD=90° ∵∠ADB=20° ∴∠ABD=70° ∵AB'平行BD ∴∠B'AB=180°-∠ABD=110° 由题意可知 ∠BAF=1/2∠B'AB=55°

B

F

C

解:?C=?D ? ?A=?F ? DF∥AC ??D=?4 ? ?1=?3 ?1=?2 ??2=?3 ? DB∥EC ??4=?C ??C=?D

解: ? CD ? AB,EF ? AB ??CDB=?EFB=90 ? CD∥EF ??3=?2 ? ?1=?2 ??1=?3 ? DG∥BC ??AGD=?ACB
0

证明: ? AB∥CD ??BMN+?MND=1800 ? MG、NG分别平分?BMN和?MND 1 1 ??NMG= ?BMN,?MNG= ?MND 2 2 ??NMG+?MNG=900 ??MGN=900 ? MG ? NG

已知:AB∥CD。试探索 ①∠A、∠C与∠AEC之间的关系; ②∠B、∠D与∠BFD之间的关系。
A
1

B

几 何
E l

2
C

之 旅
D

3 4

F

l

练习:
⒈ 如图⑴,已知 AB∥CD, ∠1=30°, ∠2=90°, 则∠3=______°
A
130°

B 2 C 3?
C

A F

B
135° 60° ?

E

图1

D

图2

D

⒉ 如图⑵,若AE∥CD, ∠EBF=135°, ∠BFD=60°,∠D= ( ) A、75° B、45° C、30° D、15°

1、如图,已知AB∥CD,∠ABF=∠DCE. 试说明:∠BFE=∠FEC.
A F B

? ?

E

C

D

ys

l

p

yx



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