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江西金太阳2007届高三全国第二次大联考试题——数学(湖南专用)


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全国大联考(湖南专用)2007 届高三第二次联考数学试卷
编审:江西金太阳教育研究所数学研究室 考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟· 2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚. 3.请将第Ⅰ卷答案填在第Ⅱ卷前的答题卡上,第Ⅱ卷用蓝黑钢笔或圆珠笔答题. 4.本试卷主要考试内容:①第一次联考内容占 30%;②函数内容占 70%. 第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 M={y| y=x+1},N={(x,y)|x 2 +y 2 =1},则 M ? N 中元素的个数是 A.0 B.1 C.2 D.多个 z2 2.已知复数 z 1 =a+i,z2=1+a 2 i,若 是实数,则实数 a 的值等于 z1 A.1
x

B.-1

C.-2

D.2
1 4

3.函数 f ? x ? ? a ? log a x 在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为 ? 则 a 等于
1 1 2

,最大值与最小值之积为 ?

3 8



2 2 3 4.若函数 f (x)= e xsin x,则此函数图象在点(4,f (4))处的切线的倾斜角为 ? A. B.0 C.钝角 D.锐角 2 5.已知实数 a、b 满足等式 log 2 a ? log 3 b ,下列五个关系式:

A.2

B.

C.2 或

D.

① 0<a<b<1;② 0<b<a<1; ③ a=b;④ 1<a<b;⑤ l<b<a. 其中不可能成立的关系式有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6.函数 f (x)为奇函数且 f (3x+1)的周期为 3,f (1)=-1,则 f (2006)等于 A.0 B.1 C.一 1 D.2 7.设 f (x)的定义域为 R 且存在反函数,若 f (2x-1)与 f 则 lim f
x ? ?? ?1
?1

?x ? 1? 互为反函数,且已知 lim

x ? ??

f

?1

? x ? 存在,

? x ? )等于
B.
2

A.1

1 2

C.2

D.

3 2

8.函数 y ? log a ?x ? ax ? 2 ? 在[2,+ ? ]上恒为正数,则实数 a 的取值范围是 A.0<a<1 B.1<a<2 C.1<a<
5 2

D. 2<a<3
?

9.连掷两次骰子分别得到点数 m、n,则向量(m,n)与向量(-1,1)的夹角 ? ? 90 的概率是 1 1 7 5 A. B. C. D. 2 3 12 12 10. 已知函数 f (x)是定义在(-3, 3)上的奇函数, 0<x<3 时, 当 f(x)的图象如图所示, 则不等式 f (x) cosx<0 的解集是 ? ? A.(-3,- ) ? (0,1) ? ( ,3) 2 2 ? ? B.(- ,一 1) ? (0,1) ? ( ,3) 2 2
-1-

-

C.(-3,-1) ? (0,1) ? (1,3) ? D.(-3,- ) ? (0,1) ? (1,3) 2 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上 11. 在平面直角坐标系中, 轴的正半轴上有 4 个点, 轴的正半轴上有 5 个点, 9 个点任意两点连线, x y 这 则所有连线段的交点落入第一象限的最多有______个. ? ? 2 a ? 1 ?x ? 7 a ? 2 ? x ? 1 ? 12.已知函数 f ? x ? ? ? x 在(-∞,+∞)上单调递减,则实数 a 的取值范围是 ? x ? 1? ?a _________________. 13.若 ?x ? 1?? x ? 2 ? ? a 0 ? a 1 ? x ? 1? ? a 2 ? x ? 1? ? ? ? a 11 ? x ? 1? ,则
2 9 2 11

?a 1 ? 3a 3 ? ? ? 11 a 11 ? 2 ? ?2 a 2

? 4 a 4 ? ? ? 10 a 10 ? ? ______(用数字作答).
2

14.如图正六边形 ABCDEF 中,AC∥y 轴.从六个顶点中任取三点,使这三点能 确定一条形如 y=ax 2+bx+c (a≠0)的抛物线的概率是_______________. 15.购买手机的“全球通”卡,使用时须付“基本月租费” (每月须交的固定月租费)50 元,在市区通话时每分钟另收 话费 0.4 元;购买“神州行”卡,使用时不收“基本月租费” , 但市区内通话时每分钟另收话费 0.6 元.若某用户每月手机 费预算为 120 元,则在这两种手机卡中,购买__________卡 较合算. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 二次函数 f (x)满足 f (x+1)-f (x)=2x,且 f (0) =1. (1) 求 f (x)的解析式; (2) 在区间[-1,1]上,y=f (x)的图象恒在 y=2x 十 m 的图象上方,试确定实数 m 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分) 小张有一只放有 a 个红球,b 个黄球,c 个白球的箱子,且 a+b+c =6 (a,b,c ? N),小刘有一只放有 3 个红球,2 个黄球,1 个白球的箱子,两人各自从自己的箱子中任取一球,规定:当两球同色时小张胜, 异色时小刘胜. (1) 用 a、b、c 表示小张胜的概率; (2) 若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分分别为 1 分、2 分、3 分,否则得 0 分,求小张得分的 期望的最大值及此时 a、b、c 的值.

-2-

-

18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f (x) = (x-a)(x-b)(x-c). (1) 求证: f ' ? x ? = (x-a)(x-b)+(x-a)(x-c)+(x-b)(x—c); (2) 若 f (x)是 R 上的增函数,是否存在点 P,使 f (x)的图象关于点 P 中心对称? 如果存在,请求出点 P 坐标,并给出证明,如果不存在,请说明理由.

19. (本小题满分 14 分)某公司生产的 A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售. 第一年, 商场为吸引厂家, 决定免收该年管理费,因此,该年 A 型商品定价为每件 70 元,年销售量为 11.8 万件.第二年,商场开 70 始对该商品征收比率为 p%的管理费(即销售 100 元要征收 p 元),于是该商品的定价上升为每件 p 1? 100 元,预计年销售量将减少 p 万件. (1) 将第二年商场对该商品征收的管理费 y(万元)表示成 p 的函数,并指出这个函数的定义域; (2) 要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于 14 万元,则商场对该商品征收管理费的比率 p%的范围是多少? (3) 第二年, 商场在所收管理费不少于 14 万元的前提下, 要让厂家获得最大销售金额, p 应为多少? 则

20.(本小题满分 14 分)已知函数 y= f (x)对于任意实数 x,y 都有 f (x+y) =f (x)+f (y)+2xy . (1) 求 f (0)的值; (2) 若 f (1)=1,求 f (2),f (3),f (4)的值,猜想 f(n)的表达式并用数学归纳法证明你的结论(n∈N*); ? 1 ? (3) 若 f (1)≥1,求证: f ? n ? ? 0 (n∈N*). ?2 ?
-3-

-

21.(本小题满分 14 分)定义在(-1,1)上的函数 f (x)满足:对任意 x,y∈(-1,1)都有
? x?y ? f ?x ? ? f ? y ? ? f ? ? 1 ? xy ? ? ? ? (1) 求证:函数 f (x)是奇函数; (2) 若当 x∈(-1,0)时,有 f (x)>0,求证:f (x)在(-1,1)上是减函数; 1? ? ? 1 ? (3) 在(2)的条件下解不等式: f ? x ? ? ? f ? ? ? 0. 2? ? ?1? x ?

参考答案(湖南专用理科)
-4-

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一、选择题 1.A 2.B 3.B 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C 9.D 10.B 3 ?3 1 ? 二、填空题 11.60 12. ? , ? 13.0 14. 15.神州行 5 ?8 2 ? 提示: 1.A 集合 M 是函数 y=x+l 的函数值的集合,集合 N 是圆上的点集. 2.B
z2 z1

?a ? a ? ? ?a ?
2 2

3

?1i

?

a ?1

,故 a 3+1=0,得 a =-1.
1 4

3.B. 函数 f(x)在区间[1,2]上是单调的,故有 f(1)+f(2)=- 4.C
f ' ?4 ? ?

,f(1)f(2)=-

3 8

,所以可解得 a ?

1 2

.

? ? ? 4 2 e sin ? 4 ? ? ? 0 . 4? ? 5.B 根据图象知:只有②、③、④有可能成立. 6.B 由已知 f (3x+1)=f[3(x+3)+1]=f(3x+1+9),所以 f(x)的周期为 9,f(2006)= f(2007-1)=f(-1)=-f(1)=1. 1 ?1 ?1 7.A 由已知得 y ? f ? x ? ? 1 ? f ? x ? 1? ,两边取极限可得. 2 8.C 4-2A+2>0,得 a<3.令 g(x)=x2-ax+2,则 g(x)最小为 g(2)=6-2a. 5 当 a>l 时,6-2a>1,得 1<a< 2 当 0<a<l 时, g(x)在[2,+ ? )上无最大值,这时符合题意的 a 值不存在. 15 5 ? ? 9.D 若使夹角 ? ? 90 ,则有-m+n<0 即 m>n,其概率为 . 36 12 10.B 根据题意结合右边图象可得. 11.60 构造凸四边形,凸四边形对角线的交点在凸四边形

?

?

内.最多其有 C 4 ? C 5 =60.
2 2

?3 1 ? 12. ? , ? ?8 2 ?

13. 0 3 14. 5

?2a ? 1 ? 0 ? 根据题意: ? 0 ? a ? 1 . ?2a ? 1 ? 7a ? 2 ? a ? 两边求导,再分别把 x 赋值 x=2,x=0,最后把所得两式相乘即得.

由二次函数的性质知三点可确定一条抛物线,但两点连线不能与纵轴平行,
3

C ? 2?4 故其概率为 6 3 C6

?

3 5

.

15.神州行 “全球通”卡的话费为 120 元时的通话时间为 175 分钟,“神州行”卡的话费 120 元时通话 时间为 200 分钟,则“神州行”卡较合算. 三、解答题 16.解:(1)令 z=0,则 f(1)-f(0)=0,∴f(1)=f(0)=1, 1 ∴二次函数图象的对称轴为 x= , 2 1 ∴可令二次函数的解析式为 y= a (x 一 )2+h ………………………2 分 2 3 由 f(0)=0,又可知 f(-1)=3 得 a=1,h= 4 1 3 ∴二次函数的解析式为 y=f(x)=(x 一 )2+ =x2-x+1 ……………6 分 2 4 (2)∵ x2-x+1 >2x+m 在[-1,l 上恒成立,
-5-

-

∴ x -3x+1>m 在[-l,1]上恒成立. ………………………………8 分 2 令 g(x)= x -3x+1,∴g(x)在[一 1,1]上单调递减,……………………10 分 ∴ g(x)min=g(1)=-l,∴m<-1. …………………………………………12 分 17.解:(1)P(小张胜)=P(两人均取红球)+P(两人均取黄球)+P(两人均取白球) a 3 b 2 c 1 3a ? 2 b ? c ? + ? = = ? + ……………………………5 分 6 6 6 6 6 6 36 (2) 设小张的得分为随机变量 ? ,则 P( ? =3)=
c 6 ? 1 6

2

,P( ? =2)=

b

P( ? =0)=1 一 P(小张胜)=1 一

,……………………………9 分 36 c 1 b 2 a 3 3a ? 2 b ? c ∴E ? =3× ? +2× ? +1× ? +0×(1 一 ) 6 6 6 6 6 6 36 3 a ? 4 b ? 3 c 3 ?a ? b ? c ? ? b 1 b ? ? ? = 36 36 2 36 ∵ a,b,c∈N,a+b+c=6,∴b 一=6,此时 a=c=0, ∴当 b=6 时,E?=虿 1+袅=了 2,此时 a=c=0,b=6…………………12 分

6 6 3a ? 2 b ? c

?

2

,P( ? =1)=

a 6

?

3 6



18.解:(1) ∵f(x)= (x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x—abc …3 分 ∴ f ' ? x ? =3x2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ac) =[x2-(a+b)x+ab]+[x2-(a+c) x+ac]+[x2-(b+c)x+bc] =(x-a)(x-b)+(x-a)(x—c)+(x-b)(x-c) …………………7 分 (2) ∵f(x)是 R 上的单调递增函数,∴ f ' ? x ? ≥0 对 x∈R 恒成立, 即 3x2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)≥0 对 x∈R 恒成立 ∴ △ ≤0, 4(a+b+c)2- 12(ab+bc+ca)≤0, ∴ (a-b)2+(a 一 c)2+(b 一 c)2≤0, ∴a=b=c. ∴ f(x)= (x—a)3, f(x)关于点(a,0)对称 ………10 分 3 证明如下:设点 P(x,y)是 f(x)= (x—a) 图象上的任意一点,y= (x—a)3, 点 P 关于点(a,0)对标的点 P?(2a-x,-y), ∴ (2a-x 一 a)3=(a-x)3=-(x 一 a)3=-y, ∴ 点 P? 在 函 数 f(x)= (x—a)3 的 图 象 上 , 即 函 数 f(x)= (x—a)3 的 图 象 关 于 点 (a , 0) 对 称 ………………………………………………………14 分 19.解:(1)依题意,第二年该商品年销售量为(11.8-p)万件, 70 年销售收入为 (11.8 一户)万元, p 1? 100 70 则商场该年对该商品征收的总管理费为 (11· 一 p)p%(万元) 8 p 1? 100 7 ?11 .8 ? p ?p 故所求函数为 y= 100 ? p 由 11.8-p>0 及 p>0 得定义域为 0<p<11.8 ……………………………6 分 7 ?11 .8 ? p ?p ≥14 (2) 由 y≥14 得 100 ? p 化简得 p2-12p+20≤0,即(p-2)(p-10)≤0,解得 2≤p≤l0 故当比率为[2%,10%]内时,商场收取的管理费将不少于 14 万元.…10 分 (3) 第二年,当商场收取的管理费不少于 14 万元时,
-6-

-

厂家的销售收入为 g(p)= ∵ g(p)=
700

700 100 ? p

?11 .8 ? p ?
882

(2≤p≤10)

)为减函数, 100 ? p p ? 100 ∴ g(p)max =g(2)=700(万元) 故 当 比 率 为 2 % 时 , 厂 家 销 售 金 额 最 大 , 且 商 场 所 收 管 理 费 又 不 少 于 14 万 元 ………………………14 分 20.(1) 解:令 x=y=0,则 f(0)=2f(0),∴f(0)=0 …………………2 分 (2) 解:∵f (1)=l,∴f(2)=2f(1)+2=4, f(3)=f(2)+f(1)+4=9, f(4)=f(3)+f(1)+6=16, 猜想:f (n)= n 2 (n∈N*),下面用数学归纳法证明:……………………4 分 当 n=1 时,显然成立· 假设 n=k (k∈N*)时成立,则有 f (k)= k 2 当 n=k+1 时, f (k+1)=f(k)+f(1)+2k= k 2+1+2k= (k+1)2,结论也成立. 故 f (n)= n 2 (n∈N*)成立 ……………………………………………8 分 1 1 (3) 证明:∵f(1)≥1,∴f(1)=2f( )+ ≥ l, 2 2 1 1 1 ∴ f ( )≥ ? 2 >0 ……………………………………………10 分 2 4 2 可以证明 1 ? 1 ? f ? n ? ? 2n ? 0 . ?2 ? 2
1 ? 1 ? 假设 n=k (k∈N*)时结论成立.即 f ? k ? ? 2 k ? 0 ,则 ?2 ? 2
1 1 1 ? 1 ? ? 1 ? ∴ f ? k ? ? 2 f ? k ?1 ? ? 2 ? k ?1 ? k ?1 ? 2 k 2 2 2 ?2 ? ?2 ? 2 1 ? 1 ? 1 1 ∴ f ? k ?1 ? ? ( 2 k ? 2 k ? 2 ) ? 2 ? k ?1 ? ? 0 2 2 ?2 ? 2 2 即 n=k+1 时也成立, 1 ? 1 ? ∴ f ? n ? ? 2 n ? 0 (n∈N*) …………………………………………14 分 ?2 ? 2 21.(1) 证明:令 x=y=0,则 f(0)+f(0)=f(0),故 f(0)=0 令 x+y=0,则 f(x)+f(-x)=f(0)=0,即 f(-x)=-f (x), ∴函数 f (x)是奇函数 ………………………………………………4 分 (2) 证明:设 x 1 , x 2 ∈(-1,1),且 x 1 < x 2 ,则

?11 .8 ? p ?

=700(10+

? x ? x2 f ? x 1 ? ? f ? x 2 ? ? f ? x 1 ? ? f ?? x 2 ? ? f ? 1 ?1? x x 1 2 ?

? ? ? ?

∵ x 1 , x 2 ∈(-1,1),且 x 1 < x 2 , ∴ x 1 - x 2 <0,-1< x 1 x 2 <1 ,( x 1 +1)( x 2 -1)<0
? x ? x2 ? ? ? 0 ,f? 1 ? 1 ? x x ? ? 0 ,即 f( x 1 )>f( x 2 ) 1 ? x1x 2 1 2 ? ? ∴ 函数 f(x)在(-1,1)上是减函数.………………………………………9 分 1? ? ? 1 ? f?x ? ? ? f? (3)解:∵ ? 2? ? ? x ?1?

∴ ?1 ?

x1 ? x 2

-7-

-

函数 f(x)在(-1,1)上是减函数,
1 1 ? ?x ? 2 ? x ? 1 ? 1 ? ∴ ?? 1 ? x ? ? 1 2 ? 1 ?? 1 ? ?1 ? x ?1 ?

∴ ?

3 2

? x ? ?1

∴原不等式的解集为{x| ?

3 2

? x ? ? 1 }…………………………………14 分

-8-



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