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人教版九年级数学上册第二十二章二次函数 知识点总结


第二十二章
一、二次函数的有关概念: 1、二次函数的定义:

二次函数

2 b, c 是常数,a ? 0 )的函数,叫做二次函数。 一般地,形如 y ? ax ? bx ? c( a ,

2、二次函数解析式的表示方法
2 (1) 一般式: y ? ax ? bx ? c ( a , b , c 为常数, a ? 0 ) ; 2 (2) 顶点式: y ? a( x ? h) ? k ( a , h , k 为常数, a ? 0 ) ;

(3) 两根式:y ? a( x ? x1 )( x ? x2 )( a ? 0 ,x1 ,x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标) .
2 二、二次函数 y ? ax ? bx ? c 图象的画法

1.基本方法:描点法
2 注 : 五 点 绘 图 法 。 利 用 配 方 法 将 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c 化 为 顶 点 式

y ? a( x ? h)2 ? k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左 c? 右对称地描点画图 .一般我们选取的五点为:顶点、与 y 轴的交点 ? 0 , 、以及 c? c? 0 ? ? x2 , 0? ?0, 关于对称轴对称的点 ? 2h , 、与 x 轴的交点 ? x1 , , (若与 x 轴没有

交点,则取两组关于对称轴对称的点). 2.画草图 抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的 交点. 三、二次函数的图像和性质
2 1.二次函数 y ? ax ? bx ? c 的性质

( 1 ) . 当 a ? 0 时 , 抛 物线 开 口 向上 , 对 称轴为
? b 4ac ? b 2 ? ?? , ? 4a ? ? 2a .

x??

b 2a , 顶 点坐 标 为



x??

b b x?? 2a 时, y 随 x 的增大而减小;当 2a 时, y 随 x 的增大而增大; b 4ac ? b2 2a 时, y 有最小值 4a . x?? b 2a , 顶 点坐 标 为



x??

( 2 ) . 当 a ? 0 时 , 抛 物线 开 口 向下 , 对 称轴为

? b 4ac ? b 2 ? ?? , ? 4a ? ? 2a .



x??

b b x?? y x 2a 时, 随 的增大而增大;当 2a 时, y 随 x 的增大而减小; b 4ac ? b2 2a 时, y 有最大值 4a .



x??

2.二次函数
a 的

y ? a ? x ? h? ? k
2

的性质: 性质
x ? h 时, y 随 x 的增大而增大;

符号

开 口方向

顶 点 对 坐标 称轴

a?0

向 上

? h ,k ?

X=h

x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h

时, y 有最小值 k .
x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; a?0

向 下

? h ,k ?

X=h

x ? h 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h

时, y 有最大值 k . 四、二次函数图象的平移 概括成八个字“左加右减,上加下减” . 五、二次函数与一元二次方程:
2 2 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 是二次函数 y ? ax ? bx ? c 当函数值 y ? 0 时的特

殊情况. 图象与 x 轴的交点个数:
2 A x, 0 , B x , 0 ① 当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴交于两点 ? 1 ? ? 2 ? ( x1 ? x2 ) ,其

2 中 的 x1 ,x2 是 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0? a ? 0? 的 两 根 . 这 两 点 间 的 距 离

AB ? x2 ? x1 ?

b2 ? 4ac a

.

② 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴只有一个交点; ③ 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴没有交点.

1' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 ; 2 ' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 .

六、二次函数中的符号问题 1. 二次项系数 a
a 决定了抛物线开口大小和方向, a 的正负决定开口方向, a 的大小决定开口的

大小. 2. 一次项系数 b 轴. ⑴ 在 a ? 0 的前提下,
? b ?0

在二次项系数 a 确定的前提下, b 决定了抛物线的对称

当 b ? 0 时, 2a
?

,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧;

b ?0 当 b ? 0 时, 2a ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; b ?0 当 b ? 0 时, 2a ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧. ?

⑵ 在 a ? 0 的前提下,结论刚好与上述相反,即
? b ?0

当 b ? 0 时, 2a
?

,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧;

b ?0 当 b ? 0 时, 2a ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; ? b ?0

当 b ? 0 时, 2a

,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧.

总结起来,在 a 确定的前提下, b 决定了抛物线对称轴的位置. 总结: “左同右异” 3. 常数项 c ⑴ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标 为正;⑵ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的 纵坐标为 0 ;

⑶ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标 为负. 总结起来, c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置. 七、二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求 二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一 般来说,有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.



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